Question

Una esfera con centro $O$ tiene radio $6.$ Un triángulo con lados de longitud $15, 15,$ y $24$ está situado en el espacio de modo que cada uno de sus lados es tangente a la esfera. ¿Cuál es la distancia entre $O$ y el plano determinado por el triángulo?

A sphere with center $O$ has radius $6.$ A triangle with sides of length $15, 15,$ and $24$ is situated in space so that each of its sides is tangent to the sphere. What is the distance between $O$ and the plane determined by the triangle?

$2\sqrt{3}$

$4$

$3\sqrt{2}$

$2\sqrt{5}$

$5$

Solución:

Obtenemos los siguientes diagramas tomando la sección transversal del plano del triángulo.

Observa que $AC = 9$ por el teorema de Pitágoras. También obtenemos que $\triangle ADP \sim \triangle ACB.$

Vemos que $PCBD$ es un deltoide, así que sabemos que $DB = BC = 12,$ lo que hace que $AD = 15 - 12 = 3.$ Usando los triángulos semejantes de arriba, obtenemos que $\dfrac{r}{3} = \dfrac{12}{9}$ $r = 4.$

Sea $d$ la distancia de la esfera a este plano. $d$ es también la distancia de $O$ a $P.$

$d = \sqrt{6^2 - 4^2} = 2\sqrt{5}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We get the following diagrams by taking the cross-section of the plane of the triangle.

Note that $AC = 9$ by the Pythagorean theorem. We also get that $\triangle ADP \sim \triangle ACB.$

We can see that $PCBD$ is a kite, so we know that $DB = BC = 12,$ which makes $AD = 15 - 12 = 3.$ Using the similar triangles, above, we get that $\dfrac{r}{3} = \dfrac{12}{9}$ $r = 4.$

Let $d$ be the distance from the sphere to this plane. $d$ is also the distance from $O$ to $P.$

Once again using the Pythagorean theorem, we get that $d = \sqrt{6^2 - 4^2} = 2\sqrt{5}.$

Thus, D is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años