Question

Sean los puntos $A = (0 ,0 ,0),$ $B = (1, 0, 0),$ $C = (0, 2, 0),$ $D = (0, 0, 3).$ Los puntos $E,$ $F,$ $G,$ y $H$ son los puntos medios de los segmentos $\overline{BD},\text{ } \overline{AB}, \text{ } \overline {AC},$ y $\overline{DC}$ respectivamente. ¿Cuál es el área de $EFGH$ ?

Let points $A = (0 ,0 ,0),$ $B = (1, 0, 0),$ $C = (0, 2, 0),$ $D = (0, 0, 3).$ Points $E,$ $F,$ $G,$ and $H$ are midpoints of line segments $\overline{BD},\text{ } \overline{AB}, \text{ } \overline {AC},$ and $\overline{DC}$ respectively. What is the area of $EFGH?$

$\sqrt{2}$

$\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$

$\dfrac{3\sqrt{5}}{4}$

$\sqrt{3}$

$\dfrac{2\sqrt{7}}{3}$

Solución:

Observa que $EF = \dfrac{1}{2}AD$ ya que es un segmento medio de $\triangle ABD.$ De manera similar, $HG = \dfrac{1}{2}AD$ y $FG = \dfrac{1}{2}BC.$

También tenemos que $\overline{EF}$ y $\overline{HG}$ son perpendiculares al plano $xy$ , lo que significa que son perpendiculares a $\overline{FG}$ y $\overline{EH}.$

Esto nos dice que $EFGH$ es un rectángulo ya que $EF = HG.$ Tenemos $EF = \dfrac{1}{2} \cdot 3 = \dfrac{3}{2}.$

También tenemos que $FG = \dfrac{1}{2} \sqrt{1^2 + 2^2} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}.$

El área de $EFGH$ es entonces $EF \cdot FG = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{2} = \dfrac{3\sqrt{5}}{4}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that $EF = \dfrac{1}{2}AD$ since it is a midsegment of $\triangle ABD.$ Similarly, $HG = \dfrac{1}{2}AD$ and $FG = \dfrac{1}{2}BC.$

We also have that $\overline{EF}$ and $\overline{HG}$ are perpendicular to the $xy$ -plane, which means that they are perpendicular to $\overline{FG}$ and $\overline{EH}.$

This tells us that $EFGH$ is rectangle since $EF = HG.$ We have $EF = \dfrac{1}{2} \cdot 3 = \dfrac{3}{2}.$

We also have that $FG = \dfrac{1}{2} \sqrt{1^2 + 2^2} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}.$

The area of $EFGH$ is then $EF \cdot FG = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{2} = \dfrac{3\sqrt{5}}{4}.$

Thus, C is the correct answer.

2012 AMC 10A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años