Question

Dos tubos rectos (cilindros circulares), con radios $1$ y $\tfrac14,$ yacen paralelos y en contacto sobre un suelo plano. La figura de abajo muestra una vista frontal. ¿Cuál es la suma de los radios posibles de un tercer tubo paralelo que yace sobre el mismo suelo y en contacto con ambos?

Two straight pipes (circular cylinders), with radii $1$ and $\tfrac14,$ lie parallel and in contact on a flat floor. The figure below shows a head-on view. What is the sum of the possible radii of a third parallel pipe lying on the same floor and in contact with both?

$\dfrac{1}{9}$

$1$

$\dfrac{10}{9}$

$\dfrac{11}{9}$

$\dfrac{19}{9}$

Solución:

Dos círculos de radios $R$ y $r$ apoyados en el suelo y tocándose entre sí tienen puntos de contacto separados por una distancia horizontal de $2\sqrt{Rr}$ . Así que los tubos de radio $1$ y radio $\tfrac14$ tocan el suelo separados $2\sqrt{1 \cdot \tfrac14} = 1$ . Un tercer tubo de radio $r$ está a $2\sqrt{r}$ del punto de contacto del tubo grande y a $2\sqrt{\tfrac14 r} = \sqrt{r}$ del pequeño. Acomodado entre ellos, $2\sqrt r + \sqrt r = 1,$ así que $\sqrt r = \tfrac13$ y $r = \tfrac19.$ Ubicado más allá del tubo pequeño, $2\sqrt r - \sqrt r = 1,$ así que $r = 1.$ (Más allá del tubo grande no puede ocurrir.) La suma es $\tfrac19 + 1 = \tfrac{10}{9}.$ Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Two circles of radii $R$ and $r$ resting on the floor and touching each other have contact points a horizontal distance $2\sqrt{Rr}$ apart. So the radius- $1$ and radius- $\tfrac14$ pipes touch the floor $2\sqrt{1 \cdot \tfrac14} = 1$ apart. A third pipe of radius $r$ sits $2\sqrt{r}$ from the big pipe's contact point and $2\sqrt{\tfrac14 r} = \sqrt{r}$ from the small pipe's. Nestled between them, $2\sqrt r + \sqrt r = 1,$ so $\sqrt r = \tfrac13$ and $r = \tfrac19.$ Sitting past the small pipe, $2\sqrt r - \sqrt r = 1,$ so $r = 1.$ (Past the big pipe can't happen.) The sum is $\tfrac19 + 1 = \tfrac{10}{9}.$ Thus, C is the correct answer.

2024 AMC 10B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años