Question

Existe una única sucesión estrictamente creciente de enteros no negativos $a_1 < a_2 < … < a_k$ tal que $\frac{2^{289}+1}{2^{17}+1} = 2^{a_1} + 2^{a_2} + … + 2^{a_k}.$ ¿Cuánto vale $k$ ?

There exists a unique strictly increasing sequence of nonnegative integers $a_1 < a_2 < … < a_k$ such that $\frac{2^{289}+1}{2^{17}+1} = 2^{a_1} + 2^{a_2} + … + 2^{a_k}.$ What is $k?$

$117$

$136$

$137$

$273$

$306$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $X=2^{17}$ . Entonces $\begin{gathered} \dfrac{2^{289}+1}{2^{17}+1} = \dfrac{X^{17}+1}{X+1} \\ = X^{16}-X^{15}+X^{14} \\ {}-\cdots-X+1 \end{gathered}$ .

Empareja términos consecutivos: $X^{16}-X^{15}$ , $X^{14}-X^{13}$ , $\ldots$ , $X^2-X$ , y luego el $+1$ final. Cada par es $2^{17m}(2^{17}-1)$ , y aporta $17$ unos en binario. Hay $8$ de esos pares más el $1$ final, así que $k=8\cdot17+1=137$ . Así, C es la respuesta correcta.

Let $X=2^{17}$ . Then $\begin{gathered} \dfrac{2^{289}+1}{2^{17}+1} = \dfrac{X^{17}+1}{X+1} \\ = X^{16}-X^{15}+X^{14} \\ {}-\cdots-X+1 \end{gathered}$ .

Pair consecutive terms: $X^{16}-X^{15}$ , $X^{14}-X^{13}$ , $\ldots$ , $X^2-X$ , and then the final $+1$ . Each pair is $2^{17m}(2^{17}-1)$ , contributing $17$ ones in binary. There are $8$ such pairs plus the final $1$ , so $k=8\cdot17+1=137$ . Thus, C is the correct answer.

2020 AMC 10A Problema 21

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Solución escrita:

El Problema 21 en otros años