Question

Los círculos con centros $P, Q$ y $R$ , de radios $1, 2$ y $3$ , respectivamente, están del mismo lado de la recta $l$ y son tangentes a $l$ en $P', Q'$ y $R'$ , respectivamente, con $Q'$ entre $P'$ y $R'$ . El círculo con centro $Q$ es tangente exteriormente a cada uno de los otros dos círculos. ¿Cuál es el área del triángulo $\triangle PQR$ ?

Circles with centers $P, Q$ and $R,$ having radii $1, 2$ and $3,$ respectively, lie on the same side of line $l$ and are tangent to $l$ at $P', Q'$ and $R',$ respectively, with $Q'$ between $P'$ and $R'.$ The circle with center $Q$ is externally tangent to each of the other two circles. What is the area of triangle $\triangle PQR?$

$0$

$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$

$1$

$\sqrt{6}-\sqrt{2}$

$\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

Solución:

Usando el teorema de Pitágoras, obtenemos que $P'Q' = \sqrt{3^2 - 1^2} = 2\sqrt{2}$ y $Q'R' = \sqrt{5^2 - 1^2} = 2\sqrt{6}.$

Esto se deduce de que $PQ = 1 + 2 = 3$ , $QR = 2 + 3 = 5$ . Las alturas de estos triángulos también son $1$ .

Por lo tanto $[Q'QPP'] = \dfrac{1}{2}(1 + 2)2\sqrt{2}$ $= 3\sqrt{2}.$

$[R'RQQ'] = \dfrac{1}{2}(2 + 3)2\sqrt{6}$ $= 5\sqrt{6}.$

$[R'RPP'] =$ $\dfrac{1}{2}(1 + 3)(2\sqrt{2} + 2\sqrt{6})$ $= 4\sqrt{2} + 4\sqrt{6}.$

Ahora podemos expresar $[PQR]$ como $[Q'QPP'] + [R'RQQ']$ $- [R'RPP'].$

$3\sqrt{2} + 5\sqrt{6} - 4\sqrt{2} - 4\sqrt{6}$ $= \sqrt{6} - \sqrt{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Using the Pythagorean theorem, we get that $P'Q' = \sqrt{3^2 - 1^2} = 2\sqrt{2}$ and $Q'R' = \sqrt{5^2 - 1^2} = 2\sqrt{6}.$

This follows from $PQ = 1 + 2 = 3$ and $QR = 2 + 3 = 5.$ The heights of the triangles are also just $1.$

Then, we get that $[Q'QPP'] = \dfrac{1}{2}(1 + 2)2\sqrt{2}$ $= 3\sqrt{2}.$

We also get that $[R'RQQ'] = \dfrac{1}{2}(2 + 3)2\sqrt{6}$ $= 5\sqrt{6}.$

Finally, we have that $[R'RPP'] =$ $\dfrac{1}{2}(1 + 3)(2\sqrt{2} + 2\sqrt{6})$ $= 4\sqrt{2} + 4\sqrt{6}.$

Now, we can express $[PQR]$ as $[Q'QPP'] + [R'RQQ']$ $- [R'RPP'].$

This evaluates to $3\sqrt{2} + 5\sqrt{6} - 4\sqrt{2} - 4\sqrt{6}$ $= \sqrt{6} - \sqrt{2}.$

Thus, the correct answer is D .

2016 AMC 10A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años