Question

Cuatro puntos distintos están dispuestos en un plano de modo que los segmentos que los conectan tienen longitudes $a$ , $a$ , $a$ , $a$ , $2a$ y $b$ . ¿Cuál es la razón de $b$ a $a$ ?

Four distinct points are arranged on a plane so that the segments connecting them have lengths $a,$ $a,$ $a,$ $a,$ $2a,$ and $b.$ What is the ratio of $b$ to $a?$

$\sqrt{3}$

$2$

$\sqrt{5}$

$3$

$\pi$

Solución:

Cuatro de las seis distancias son $a$ , así que tres de los puntos forman un triángulo equilátero de lado $a$ . Llamemos a estos puntos $A,B,C$ .

El cuarto punto $D$ está a distancia $a$ de uno de estos puntos, digamos $A$ , y a distancia $2a$ de otro, digamos $B$ . Como $BD$ es un diámetro del círculo con centro en $A$ y radio $a$ , el triángulo $BCD$ es rectángulo.

Por lo tanto, $b^2=(2a)^2-a^2=3a^2$ , así que $b/a=\sqrt3$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Four of the six distances are $a$ , so three of the points form an equilateral triangle of side $a$ . Call these points $A,B,C$ .

The fourth point $D$ is distance $a$ from one of these points, say $A$ , and distance $2a$ from another, say $B$ . Since $BD$ is a diameter of the circle centered at $A$ with radius $a$ , triangle $BCD$ is right.

Thus $b^2=(2a)^2-a^2=3a^2$ , so $b/a=\sqrt3$ .

Thus, A is the correct answer.

2012 AMC 10B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años