Question

Bernardo y Silvia juegan el siguiente juego. Se selecciona un entero entre $0$ y $999$ inclusive y se le da a Bernardo. Cada vez que Bernardo recibe un número, lo duplica y pasa el resultado a Silvia. Cada vez que Silvia recibe un número, le suma $50$ y pasa el resultado a Bernardo. El ganador es la última persona que produce un número menor que $1000$ .

Sea $N$ el menor número inicial que produce una victoria para Bernardo. ¿Cuál es la suma de los dígitos de $N$ ?

Bernardo and Silvia play the following game. An integer between $0$ and $999$ inclusive is selected and given to Bernardo. Whenever Bernardo receives a number, he doubles it and passes the result to Silvia. Whenever Silvia receives a number, she adds $50$ to it and passes the result to Bernardo. The winner is the last person who produces a number less than $1000.$

Let $N$ be the smallest initial number that results in a win for Bernardo. What is the sum of the digits of $N?$

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Solución:

Supongamos que $x$ era nuestro número inicial. Entonces se convierte en $2x$ al pasarlo a Silvia, y en $2x+50$ al pasarlo a Bernardo. Repitiendo esto, con el tiempo llega a ser $16x+700$ al pasarlo a Silvia y $16x+750$ al pasarlo a Bernardo. Cualquier iteración adicional hace que el número supere $1000$ .

El número que se pasa a Silvia debe ser menor que $1000$ y el número que Silvia produce debe ser mayor que $1000$ , así que $16x+750 > 1000 > 16x+700 .$

Por lo tanto, $300 > 16x > 250$ . Esto hace que $18 \geq x \geq 16$ , así que $N=16$ . En consecuencia, la suma de los dígitos de $N$ es $1+6=7$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Suppose $x$ was our initial number. Then, it becomes $2x$ when given to Silvia, and $2x+50$ when given to Bernardo. Repeatedly doing this can yield that it eventually becomes $16x+700$ when given to Silvia and $16x+750$ when given to Bernardo. Any more iterations makes the number greater than $1000.$

The number given to Silvia must be below $1000$ and the number Silvia makes is greater than $1000,$ so $16x+750 > 1000 > 16x+700 .$

Therefore, $300 > 16x > 250 .$ This makes $18 \geq x \geq 16,$ so $N=16.$ As such, the sum of the digits of $N$ is $1+6=7.$

Thus, the correct answer is A .

2012 AMC 10B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años