Question

Se selecciona al azar un número de tres cifras $n$ en base $10$ . ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana a la probabilidad de que la representación en base $9$ y la representación en base $11$ de $n$ sean ambas de tres cifras?

A base- $10$ three-digit number $n$ is selected at random. Which of the following is closest to the probability that the base- $9$ representation and the base- $11$ representation of $n$ are both three-digit numerals?

$0.3$

$0.4$

$0.5$

$0.6$

$0.7$

Solución:

El mayor número de tres cifras en base $9$ es $9^3 - 1 = 728,$ y el menor número de tres cifras en base $11$ es $11^2 = 121.$

Así que ambas condiciones se cumplen exactamente cuando $121 \le n \le 728,$ lo que da $608$ enteros.

De los $900$ números de tres cifras, la probabilidad es $\dfrac{608}{900} \approx 0.7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The largest three-digit base- $9$ number is $9^3 - 1 = 728,$ and the smallest three-digit base- $11$ number is $11^2 = 121.$

So both conditions hold exactly when $121 \le n \le 728,$ giving $608$ integers.

Out of $900$ three-digit numbers, the probability is $\dfrac{608}{900} \approx 0.7.$

Thus, the correct answer is E.

2003 AMC 10A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años