Question

El trapecio $ABCD$ tiene bases $AB$ y $CD$ y diagonales que se cortan en $K.$ Supón que $AB = 9,$ $DC = 12,$ y el área de $\triangle AKD$ es $24.$ ¿Cuál es el área del trapecio $ABCD$ ?

Trapezoid $ABCD$ has bases $AB$ and $CD$ and diagonals intersecting at $K.$ Suppose that $AB = 9,$ $DC = 12,$ and the area of $\triangle AKD$ is $24.$ What is the area of trapezoid $ABCD?$

$92$

$94$

$96$

$98$

$100$

Solución:

Los triángulos $AKB$ y $CKD$ son semejantes con razón $\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}.$

Como $\triangle AKD$ y $\triangle KCD$ comparten la base y tienen vértices colineales, $\dfrac{[KCD]}{[AKD]} = \dfrac{KC}{AK} = \dfrac{4}{3},$ así que $[KCD] = 32.$ De forma análoga $[AKB] = 18.$

Además $[BKC] = [AKD] = 24.$ El total es $24 + 32 + 18 + 24 = 98.$

Así, la respuesta correcta es D.

Triangles $AKB$ and $CKD$ are similar with ratio $\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}.$

Since $\triangle AKD$ and $\triangle KCD$ share the base and have collinear vertices, $\dfrac{[KCD]}{[AKD]} = \dfrac{KC}{AK} = \dfrac{4}{3},$ so $[KCD] = 32.$ Similarly $[AKB] = 18.$

Also $[BKC] = [AKD] = 24.$ The total is $24 + 32 + 18 + 24 = 98.$

Thus, the correct answer is D.

2008 AMC 10A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años