Question

Se forma una sucesión de cuatro términos sumando cada término de una sucesión aritmética de cuatro términos de enteros positivos con el término correspondiente de una sucesión geométrica de cuatro términos de enteros positivos. Los primeros tres términos de la sucesión resultante de cuatro términos son $57,$ $60,$ y $91.$ ¿Cuál es el cuarto término de esta sucesión?

A four-term sequence is formed by adding each term of a four-term arithmetic sequence of positive integers to the corresponding term of a four-term geometric sequence of positive integers. The first three terms of the resulting four-term sequence are $57,$ $60,$ and $91.$ What is the fourth term of this sequence?

$190$

$194$

$198$

$202$

$206$

Solución:

Sea la sucesión aritmética $a, a + d, a + 2d, a + 3d$ y la sucesión geométrica $b, br, br^2, br^3.$

Entonces $a + b = 57 \tag*{(1)},$ $a + d + br = 60 \tag*{(2)},$ y $a + 2d + br^2 = 91 \tag*{(3)}.$

Restando $(1)$ de $(2)$ y $(2)$ de $(3),$ obtenemos $d + b(r - 1) = 3$ y $d + br(r - 1) = 31.$

Restando estas, obtenemos $b(r - 1)^2 = 28.$

Sea $t=br-b$ , la diferencia de los primeros dos términos de la sucesión geométrica entera. Entonces $t$ es un entero y $t^2=28b$ , así que $t$ es múltiplo de $14$ . Combinando esto con la positividad de los cuatro términos de la sucesión aritmética, solo queda $(b,t)=(7,14)$ o $(28,28)$ .

Si $b = 28,$ entonces $r = 2,$ $a = 29,$ y $d = -25.$ Esto obliga a que la sucesión aritmética sea $29, 4, -21, -46,$ lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, $b = 7.$ Entonces $r = 3,$ $a = 50,$ y $d = -11.$ La sucesión aritmética es $50,39,28,17,$ y la sucesión geométrica es $7,21,63,189.$

La respuesta buscada es $17 + 189 = 206.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let the arithmetic sequence be $a, a + d, a + 2d, a + 3d$ and the geometric sequence be $b, br, br^2, br^3.$

Then $a + b = 57 \tag*{(1)},$ $a + d + br = 60 \tag*{(2)},$ and $a + 2d + br^2 = 91 \tag*{(3)}.$

Subtracting $(1)$ from $(2)$ and $(2)$ from $(3),$ we get $d + b(r - 1) = 3$ and $d + br(r - 1) = 31.$

Subtracting these, we get $b(r - 1)^2 = 28.$

Let $t=br-b$ , the difference of the first two terms of the integer geometric sequence. Then $t$ is an integer and $t^2=28b$ , so $t$ is a multiple of $14$ . Combining this with positivity of all four arithmetic-sequence terms leaves only $(b,t)=(7,14)$ or $(28,28)$ .

If $b = 28,$ then $r = 2,$ $a = 29,$ and $d = -25.$ This forces the arithmetic sequence to be $29, 4, -21, -46,$ which is a contradiction.

Therefore, $b = 7.$ Then $r = 3,$ $a = 50,$ and $d = -11.$ The arithmetic sequence is $50,39,28,17,$ and the geometric sequence is $7,21,63,189.$

The desired answer is $17 + 189 = 206.$

Thus, E is the correct answer.

2022 AMC 10A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años