Question

Cada casilla de una cuadrícula de $3 \times 3$ casillas se colorea de rojo, blanco, azul o verde de modo que cada cuadrado de $2 \times 2$ contenga una casilla de cada color. Abajo se muestra una de estas coloraciones (las letras indican los colores, con la casilla central blanca). ¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

Each square in a $3 \times 3$ grid of squares is colored red, white, blue, or green so that every $2 \times 2$ square contains one square of each color. One such coloring is shown below (letters denote the colors, with the center square white). How many different colorings are possible?

$24$

$48$

$60$

$72$

$96$

Solución:

Etiqueta las casillas fila por fila $a, b, c / d, e, f / g, h, i.$ El bloque superior izquierdo $a, b, d, e$ es una permutación de los cuatro colores, así que $4! = 24$ formas. El bloque $\{b, c, e, f\}$ también contiene los cuatro colores, y $b, e$ están fijos, así que $\{c, f\}$ son los dos restantes en algún orden: $2$ formas. Lo mismo para $\{g, h\},$ los dos colores aparte de $d, e,$ otras $2$ formas. Eso deja $i,$ obligado a ser el color que falte en $\{e, f, h\},$ y eso solo funciona cuando $f \ne h.$ De las $2 \cdot 2 = 4$ combinaciones de orden, exactamente una tiene $f = h,$ así que $3$ sobreviven. El total es $24 \cdot 3 = 72.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

Label the cells row by row $a, b, c / d, e, f / g, h, i.$ The top-left block $a, b, d, e$ is a permutation of the four colors, so $4! = 24$ ways. The block $\{b, c, e, f\}$ is also all four colors, and $b, e$ are fixed, so $\{c, f\}$ is the remaining two in some order: $2$ ways. Same story for $\{g, h\},$ the two colors apart from $d, e,$ another $2$ ways. That leaves $i,$ forced to whatever color is missing from $\{e, f, h\},$ and that only works when $f \ne h.$ Of the $2 \cdot 2 = 4$ order combinations, exactly one has $f = h,$ so $3$ survive. The total is $24 \cdot 3 = 72.$ Therefore, the answer is D.

2023 AMC 10A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años