Question

Se eligen al azar seis enteros positivos distintos entre $1$ y $2006,$ inclusive. ¿Cuál es la probabilidad de que algún par de estos enteros tenga una diferencia que sea múltiplo de $5$ ?

Six distinct positive integers are randomly chosen between $1$ and $2006,$ inclusive. What is the probability that some pair of these integers has a difference that is a multiple of $5?$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{4}{5}$

$1$

Solución:

Agrupa los enteros por su residuo módulo $5.$ Solo hay $5$ residuos posibles pero $6$ enteros, así que por el Principio del Palomar dos comparten un residuo.

Su diferencia es entonces un múltiplo de $5.$ Esto siempre ocurre, así que la probabilidad es $1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Group the integers by their remainder modulo $5.$ There are only $5$ possible remainders but $6$ integers, so by the Pigeonhole Principle two share a remainder.

Their difference is then a multiple of $5.$ This always happens, so the probability is $1.$

Thus, the correct answer is E.

2006 AMC 10A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años