Question

¿Cuántos triángulos no semejantes tienen ángulos cuyas medidas en grados son enteros positivos distintos en progresión aritmética?

How many non-similar triangles have angles whose degree measures are distinct positive integers in arithmetic progression?

$0$

$1$

$59$

$89$

$178$

Solución:

Sean los ángulos $n - d,$ $n,$ $n + d.$ Su suma es $3n = 180,$ así que $n = 60.$

Las medidas son enteros positivos distintos, así que $d \ge 1,$ y $n - d \gt 0$ obliga a $d \lt 60.$ Por lo tanto $d \in \{1, 2, \ldots, 59\},$ lo que da $59$ triángulos no semejantes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the angles be $n - d,$ $n,$ $n + d.$ Their sum is $3n = 180,$ so $n = 60.$

The measures are distinct positive integers, so $d \ge 1,$ and $n - d \gt 0$ forces $d \lt 60.$ Thus $d \in \{1, 2, \ldots, 59\},$ giving $59$ non-similar triangles.

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 10A Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años