Question

Los números reales $c,b,a$ forman una sucesión aritmética con $a \geq b \geq c \geq 0.$ La cuadrática $ax^2+bx+c$ tiene exactamente una raíz. ¿Cuál es esta raíz?

The real numbers $c,b,a$ form an arithmetic sequence with $a \geq b \geq c \geq 0.$ The quadratic $ax^2+bx+c$ has exactly one root. What is this root?

$-7-4\sqrt{3}$

$-2-\sqrt{3}$

$-1$

$-2+\sqrt{3}$

$-7+4\sqrt{3}$

Solución:

Sea $d$ la diferencia común, así que $c=b-d$ y $a=b+d$ .

Una cuadrática con exactamente una raíz real tiene discriminante $0$ , así que $b^2-4ac=0$ . Al sustituir se obtiene $b^2=4(b+d)(b-d)=4b^2-4d^2$ , de donde $4d^2=3b^2$ .

Como $b,d\ge0$ , $2d=\sqrt3 b$ . La raíz doble es $\frac{-b}{2a}=\frac{-b}{2(b+d)}=\frac{-1}{2+\sqrt3}=-2+\sqrt3$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the common difference be $d$ , so $c=b-d$ and $a=b+d$ .

A quadratic with exactly one real root has discriminant $0$ , so $b^2-4ac=0$ . Substituting gives $b^2=4(b+d)(b-d)=4b^2-4d^2$ , hence $4d^2=3b^2$ .

Since $b,d\ge0$ , $2d=\sqrt3 b$ . The double root is $\frac{-b}{2a}=\frac{-b}{2(b+d)}=\frac{-1}{2+\sqrt3}=-2+\sqrt3$ .

Thus, the correct answer is D .

2013 AMC 10B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años