Question

Un círculo de radio $2$ está centrado en $O.$ El cuadrado $OABC$ tiene lado $1.$ Los lados $\overline{AB}$ y $\overline{CB}$ se prolongan más allá de $B$ hasta cortar el círculo en $D$ y $E,$ respectivamente. ¿Cuál es el área de la región sombreada de la figura, que está limitada por $\overline{BD},$ $\overline{BE},$ y el arco menor que une $D$ y $E$ ?

A circle of radius $2$ is centered at $O.$ Square $OABC$ has side length $1.$ Sides $\overline{AB}$ and $\overline{CB}$ are extended past $B$ to meet the circle at $D$ and $E,$ respectively. What is the area of the shaded region in the figure, which is bounded by $\overline{BD},$ $\overline{BE},$ and the minor arc connecting $D$ and $E?$

$\dfrac{\pi}{3}+1-\sqrt{3}$

$\dfrac{\pi}{2}(2-\sqrt{3})$

$\pi(2-\sqrt{3})$

$\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$

$\dfrac{\pi}{3}-1+\sqrt{3}$

Solución:

Como $OA=1$ y $OD=2$ con $D$ sobre la recta $x=1,$ obtenemos $\angle AOD=60^\circ,$ e igualmente $\angle COE=60^\circ,$ así que $\angle DOE=30^\circ.$

El sector $DOE$ tiene área $\tfrac{30}{360}\pi(2^2)=\tfrac{\pi}{3}.$

La región es este sector menos los triángulos $OBD$ y $OBE.$ Con $BD=BE=\sqrt3-1,$ cada triángulo tiene área $\tfrac12(\sqrt3-1)(1),$ que suman $\sqrt3-1.$

Así que el área sombreada es $\tfrac{\pi}{3}-(\sqrt3-1)=\tfrac{\pi}{3}+1-\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $OA=1$ and $OD=2$ with $D$ on the line $x=1,$ we get $\angle AOD=60^\circ,$ and likewise $\angle COE=60^\circ,$ so $\angle DOE=30^\circ.$

The sector $DOE$ has area $\tfrac{30}{360}\pi(2^2)=\tfrac{\pi}{3}.$

The region is this sector minus triangles $OBD$ and $OBE.$ With $BD=BE=\sqrt3-1,$ each triangle has area $\tfrac12(\sqrt3-1)(1),$ totaling $\sqrt3-1.$

So the shaded area is $\tfrac{\pi}{3}-(\sqrt3-1)=\tfrac{\pi}{3}+1-\sqrt3.$

Thus, the correct answer is A.

2006 AMC 10B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años