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2006 AMC 10B Problema 19

Intenta el Problema 19 del 2006 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2006 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

Un círculo de radio 22 está centrado en O.O. El cuadrado OABCOABC tiene lado 1.1. Los lados AB‾\overline{AB} y CB‾\overline{CB} se prolongan más allá de BB hasta cortar el círculo en DD y E,E, respectivamente. ¿Cuál es el área de la región sombreada de la figura, que está limitada por BD‾,\overline{BD}, BE‾,\overline{BE}, y el arco menor que une DD y EE?
A circle of radius 22 is centered at O.O. Square OABCOABC has side length 1.1. Sides AB‾\overline{AB} and CB‾\overline{CB} are extended past BB to meet the circle at DD and E,E, respectively. What is the area of the shaded region in the figure, which is bounded by BD‾,\overline{BD}, BE‾,\overline{BE}, and the minor arc connecting DD and E?E?
π3+1−3\dfrac{\pi}{3}+1-\sqrt{3}
π2(2−3)\dfrac{\pi}{2}(2-\sqrt{3})
π(2−3)\pi(2-\sqrt{3})
π6+3−12\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}
π3−1+3\dfrac{\pi}{3}-1+\sqrt{3}
Respuesta: A
Conceptos:sector circularárea del triángulopersecución de ángulos
Nivel de dificultad: 1820
Pista pequeña:
Usa OC=1OC=1 y OE=2OE=2 para hallar ∠EOA=30∘\angle EOA=30^\circ.
Use OC=1OC=1 and OE=2OE=2 to find ∠EOA=30∘\angle EOA=30^\circ
Pista grande:
El área sombreada es igual al sector DOEDOE menos los dos triángulos rectángulos OBDOBD y OBEOBE.
Shaded area equals sector DOEDOE minus the two right triangles OBDOBD and OBEOBE
Solución:
Como OA=1OA=1 y OD=2OD=2 con DD sobre la recta x=1,x=1, obtenemos ∠AOD=60∘,\angle AOD=60^\circ, e igualmente ∠COE=60∘,\angle COE=60^\circ, así que ∠DOE=30∘.\angle DOE=30^\circ.
El sector DOEDOE tiene área 30360π(22)=π3.\tfrac{30}{360}\pi(2^2)=\tfrac{\pi}{3}.
La región es este sector menos los triángulos OBDOBD y OBE.OBE. Con BD=BE=3−1,BD=BE=\sqrt3-1, cada triángulo tiene área 12(3−1)(1),\tfrac12(\sqrt3-1)(1), que suman 3−1.\sqrt3-1.
Así que el área sombreada es π3−(3−1)=π3+1−3.\tfrac{\pi}{3}-(\sqrt3-1)=\tfrac{\pi}{3}+1-\sqrt3.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Since OA=1OA=1 and OD=2OD=2 with DD on the line x=1,x=1, we get ∠AOD=60∘,\angle AOD=60^\circ, and likewise ∠COE=60∘,\angle COE=60^\circ, so ∠DOE=30∘.\angle DOE=30^\circ.
The sector DOEDOE has area 30360π(22)=π3.\tfrac{30}{360}\pi(2^2)=\tfrac{\pi}{3}.
The region is this sector minus triangles OBDOBD and OBE.OBE. With BD=BE=3−1,BD=BE=\sqrt3-1, each triangle has area 12(3−1)(1),\tfrac12(\sqrt3-1)(1), totaling 3−1.\sqrt3-1.
So the shaded area is π3−(3−1)=π3+1−3.\tfrac{\pi}{3}-(\sqrt3-1)=\tfrac{\pi}{3}+1-\sqrt3.
Thus, the correct answer is A.
Problema 18#18
Examen completo
Problema 20#20

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