Question

En base $10,$ el número $2013$ termina en el dígito $3.$ En base $9,$ en cambio, el mismo número se escribe como $(2676)_9$ y termina en el dígito $6.$ ¿Para cuántos enteros positivos $b$ la representación en base $b$ de $2013$ termina en el dígito $3$ ?

In base $10,$ the number $2013$ ends in the digit $3.$ In base $9,$ on the other hand, the same number is written as $(2676)_9$ and ends in the digit $6.$ For how many positive integers $b$ does the base- $b$ -representation of $2013$ end in the digit $3?$

$6$

$9$

$13$

$16$

$18$

Solución:

Observa que el dígito de las unidades representa el residuo al dividir el número entre la base.

La pregunta se reduce entonces a hallar todos los números $b,$ tales que $2013$ deja un residuo de $3$ al dividirse entre $b.$

Esto significa que $b$ debe dividir a $2010.$ Observa también que $b \geq 4,$ ya que de lo contrario el residuo no puede ser $3.$

La factorización prima de $2010$ es $2010 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67.$ Entonces, $2010$ tiene $(1 + 1)^4 = 2^4 = 16$ factores. Tiene $3$ factores menores que $4,$ a saber $1, 2,$ y $3.$ Esto significa que hay $16 - 3 = 13$ valores válidos para $b.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that the units digit represents the remainder when the number is divided by the base.

The question then boils down to finding all numbers, $b,$ such that $2013$ leaves a remainder of $3$ when divided by $b.$

This means that $b$ must divide $2010.$ Also note that $b \geq 4,$ since otherwise the remainder cannot be $3.$

The prime factorization of $2010$ is $2010 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67.$ Then, $2010$ has $(1 + 1)^4 = 2^4 = 16$ factors. It has $3$ factors less than $4,$ namely $1, 2,$ and $3.$ This means there are $16 - 3 = 13$ valid values for $b.$

Thus, C is the correct answer.

2013 AMC 10A Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años