Question

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Prolonga el lado $\overline{AB}$ más allá de $B$ hasta un punto $B'$ de modo que $BB'=3 \cdot AB.$ De manera similar, prolonga el lado $\overline{BC}$ más allá de $C$ hasta un punto $C'$ de modo que $CC'=3 \cdot BC,$ y prolonga el lado $\overline{CA}$ más allá de $A$ hasta un punto $A'$ de modo que $AA'=3 \cdot CA.$

¿Cuál es la razón entre el área del $\triangle A'B'C'$ y el área del $\triangle ABC$ ?

Let $ABC$ be an equilateral triangle. Extend side $\overline{AB}$ beyond $B$ to a point $B'$ so that $BB'=3 \cdot AB.$ Similarly, extend side $\overline{BC}$ beyond $C$ to a point $C'$ so that $CC'=3 \cdot BC,$ and extend side $\overline{CA}$ beyond $A$ to a point $A'$ so that $AA'=3 \cdot CA.$

What is the ratio of the area of $\triangle A'B'C'$ to the area of $\triangle ABC?$

$9:1$

$16:1$

$25:1$

$36:1$

$37:1$

Solución:

Sabemos que: $\begin{align*}[A'B'C'] =& \small [ABC]+ [A'B'A]\\ &\small + [B'C'B] + [C'A'C] .\end{align*}$ Los últimos tres términos del lado derecho de la ecuación tienen la misma área, así que el área: $[A'B'C']=[ABC]+3[A'B'A].$ Por lo tanto, para hallar la razón pedida, necesitamos encontrar: $\dfrac{[ABC]+3[A'B'A] }{[ABC]}$ $= 1+ 3\dfrac{[A'B'B]}{[ABC]}.$ Luego, $\begin{align*}[A'B'B] =& \frac12 A'A\cdot B'A \\&\cdot \sin A'AB' \end{align*}$ y $[ABC] = \frac 12 AB\cdot AC \cdot \sin BAC.$ Como $\angle A'AB'$ y $\angle BAC$ son suplementarios, tienen el mismo seno.

Por lo tanto, $\dfrac{[A'B'B]}{[ABC]} = \dfrac{A'A \cdot B'A}{AB\cdot AC} .$ Luego, $A'B = AB + BB' = 4AB,$ y $AA' = 3 AC .$ Esto da $\dfrac{[A'B'B]}{[ABC]} = 4\cdot 3 = 12.$ Así, la razón final es $1+ 3\cdot 12 = 37.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

We know that: $\begin{align*}[A'B'C'] =& \small [ABC]+ [A'B'A]\\ &\small + [B'C'B] + [C'A'C] .\end{align*}$ The last three terms on the right hand side of the equation have the same area, so the area: $[A'B'C']=[ABC]+3[A'B'A].$ Therefore, to find the ratio in question, we need to find: $\dfrac{[ABC]+3[A'B'A] }{[ABC]}$ $= 1+ 3\dfrac{[A'B'B]}{[ABC]}.$ Then, $\begin{align*}[A'B'B] =& \frac12 A'A\cdot B'A \\&\cdot \sin A'AB' \end{align*}$ and $[ABC] = \frac 12 AB\cdot AC \cdot \sin BAC.$ Since $\angle A'AB'$ and $\angle BAC$ are supplements, they have the same sine.

Therefore, $\dfrac{[A'B'B]}{[ABC]} = \dfrac{A'A \cdot B'A}{AB\cdot AC} .$ Then, $A'B = AB + BB' = 4AB,$ and $AA' = 3 AC .$ This makes $\dfrac{[A'B'B]}{[ABC]} = 4\cdot 3 = 12.$ As such, the final ratio is $1+ 3\cdot 12 = 37.$

Thus, the correct answer is E .

2017 AMC 10B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años