Question

En la sucesión $2001, 2002, 2003, \ldots,$ cada término después del tercero se obtiene restando el término anterior de la suma de los dos términos que preceden a ese término. Por ejemplo, el cuarto término es $2001 + 2002 - 2003 = 2000.$ ¿Cuál es el término número $2004$ de esta sucesión?

In the sequence $2001, 2002, 2003, \ldots,$ each term after the third is found by subtracting the previous term from the sum of the two terms that precede that term. For example, the fourth term is $2001 + 2002 - 2003 = 2000.$ What is the $2004$ th term in this sequence?

$-2004$

$-2$

$0$

$4003$

$6007$

Solución:

La recurrencia $a_{k+1} = a_{k-2} + a_{k-1} - a_k$ da $a_{k+1} - a_{k-1} = -(a_k - a_{k-2}).$ La sucesión comienza $2001, 2002, 2003,$ $2000, 2005, 1998, \ldots$

Así que los términos en posición par forman la sucesión aritmética $2002, 2000, 1998, \ldots$ con diferencia común $-2.$ El término $2004$ es su término número $1002$ , $2002 + 1001(-2) = 0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The recurrence $a_{k+1} = a_{k-2} + a_{k-1} - a_k$ gives $a_{k+1} - a_{k-1} = -(a_k - a_{k-2}).$ The sequence begins $2001, 2002, 2003,$ $2000, 2005, 1998, \ldots$

So the even-position terms form the arithmetic sequence $2002, 2000, 1998, \ldots$ with common difference $-2.$ The $2004$ th term is its $1002$ nd term, $2002 + 1001(-2) = 0.$

Thus, the correct answer is C.

2004 AMC 10B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años