Question

En

\triangle ABC

los puntos

D

y

E

están en

\overline{BC}

y

\overline{AC},

respectivamente. Si

\overline{AD}

y

\overline{BE}

se intersecan en

T

de modo que

\frac{AT}{DT} = 3

y

\frac{BT}{ET} = 4,

¿cuánto vale

\frac{CD}{BD}

?

In

\triangle ABC

points

D

and

E

lie on

\overline{BC}

and

\overline{AC},

respectively. If

\overline{AD}

and

\overline{BE}

intersect at

T

so that

\frac{AT}{DT} = 3

and

\frac{BT}{ET} = 4,

what is

\frac{CD}{BD}?

\dfrac{1}{8}

\dfrac{2}{9}

\dfrac{3}{10}

\dfrac{4}{11}

\dfrac{5}{12}

Respuesta: D

Conceptos:semejanza rectas paralelas razón y proporción

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Traza la recta que pasa por

D

paralela a

\overline{BE}

que corta a

\overline{AC}

en un punto

F

.

Draw the line through

D

parallel to

\overline{BE}

meeting

\overline{AC}

at a point

F

Pista grande:

Dos pares de triángulos semejantes dan

\frac{CD}{BC},

que se convierte en

\frac{CD}{BD}

.

Two pairs of similar triangles give

\frac{CD}{BC},

which converts to

\frac{CD}{BD}

Solución:

Sea

F

un punto en

\overline{AC}

con

DF \parallel BE,

y escribe

ET = x,

BT = 4x.

De

\triangle ATE \sim \triangle ADF,

\dfrac{DF}{x} = \dfrac{AD}{AT} = \dfrac{4}{3},

así que

DF = \dfrac{4x}{3}.

De

\triangle BEC \sim \triangle DFC,

\dfrac{CD}{BC} = \dfrac{DF}{BE} = \dfrac{\frac{4x}{3}}{5x} = \dfrac{4}{15}.

Por lo tanto

\begin{aligned} \dfrac{CD}{BD} &= \dfrac{\frac{CD}{BC}}{1 - \frac{CD}{BC}} \\ &= \dfrac{\frac{4}{15}}{\frac{11}{15}} = \dfrac{4}{11}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

F

be on

\overline{AC}

with

DF \parallel BE,

and write

ET = x,

BT = 4x.

From

\triangle ATE \sim \triangle ADF,

\dfrac{DF}{x} = \dfrac{AD}{AT} = \dfrac{4}{3},

so

DF = \dfrac{4x}{3}.

From

\triangle BEC \sim \triangle DFC,

\dfrac{CD}{BC} = \dfrac{DF}{BE} = \dfrac{\frac{4x}{3}}{5x} = \dfrac{4}{15}.

Therefore

\begin{aligned} \dfrac{CD}{BD} &= \dfrac{\frac{CD}{BC}}{1 - \frac{CD}{BC}} \\ &= \dfrac{\frac{4}{15}}{\frac{11}{15}} = \dfrac{4}{11}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 10B Problema 20

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años