Question

El triángulo $ABC$ tiene un ángulo recto en $B,$ $AB=1,$ y $BC=2.$ La bisectriz de $\angle BAC$ corta a $\overline{BC}$ en $D.$ ¿Cuánto vale $BD$ ?

Triangle $ABC$ has a right angle at $B,$ $AB=1,$ and $BC=2.$ The bisector of $\angle BAC$ meets $\overline{BC}$ at $D.$ What is $BD?$

$\dfrac{\sqrt3-1}{2}$

$\dfrac{\sqrt5-1}{2}$

$\dfrac{\sqrt5+1}{2}$

$\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}$

$2\sqrt3-1$

Solución:

Por el Teorema de Pitágoras, $AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.$ El Teorema de la Bisectriz da $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt5},$ así que $DC=\sqrt5\,BD.$

Como $BD+DC=2,$ tenemos $BD(1+\sqrt5)=2,$ así que $BD=\dfrac{2}{1+\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5-1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By the Pythagorean Theorem, $AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.$ The Angle Bisector Theorem gives $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt5},$ so $DC=\sqrt5\,BD.$

Since $BD+DC=2,$ we have $BD(1+\sqrt5)=2,$ so $BD=\dfrac{2}{1+\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5-1}{2}.$

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 10B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años