Question

Se seleccionan de forma independiente y al azar dos puntos en la circunferencia de un círculo de radio $r$ . Desde cada punto se traza una cuerda de longitud $r$ en dirección horaria. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos cuerdas se intersequen?

Two points on the circumference of a circle of radius $r$ are selected independently and at random. From each point a chord of length $r$ is drawn in a clockwise direction. What is the probability that the two chords intersect?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Solución:

Fija uno de los puntos en la circunferencia y su cuerda. Luego considera el hexágono regular inscrito en el círculo con este punto como uno de sus vértices.

A partir de esto, podemos ver que la única forma de que la cuerda del otro punto interseque la actual es que ese punto esté dentro de un arco adyacente al punto fijado.

De lo contrario, la cuerda no llegará lo suficientemente lejos para intersecar la cuerda fija, razón por la cual el punto debe estar en un arco adyacente.

La probabilidad buscada es entonces $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Fix one of the points on the circumference and its chord. Then consider the regular hexagon inscribed in the circle with this point at a vertex.

From this, we can see that the only way for the other point's chord to intersect the current one is if it is within an adjacent arc to the point.

Otherwise, the chord will not reach far enough to intersect the fixed chord, which is why the point must lie on an adjacent arc.

The desired probability is then $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.$

Thus, D is the correct answer.

2011 AMC 10A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años