Question

Cuatro semicírculos congruentes están inscritos en un cuadrado de lado $1$ de modo que sus diámetros están sobre los lados del cuadrado, un extremo de cada diámetro está en un vértice del cuadrado, y los semicírculos adyacentes son tangentes entre sí. Un círculo pequeño centrado en el centro del cuadrado es tangente a cada uno de los cuatro semicírculos, como se muestra abajo.

El diámetro del círculo pequeño se puede escribir como $(\sqrt{a} + b)(\sqrt{c} + d),$ donde $a, b, c,$ y $d$ son enteros. ¿Cuánto vale $a + b + c + d$ ?

Four congruent semicircles are inscribed in a square of side length $1$ so that their diameters are on the sides of the square, one endpoint of each diameter is at a vertex of the square, and adjacent semicircles are tangent to each other. A small circle centered at the center of the square is tangent to each of the four semicircles, as shown below.

The diameter of the small circle can be written as $(\sqrt{a} + b)(\sqrt{c} + d),$ where $a, b, c,$ and $d$ are integers. What is $a + b + c + d?$

$3$

$5$

$8$

$9$

$11$

Solución:

Sea cada semicírculo de radio $\rho,$ con centros como $(\rho, 0)$ y $(1, \rho).$ Los semicírculos adyacentes son tangentes, así que estos centros están a $2\rho$ de distancia: $(1 - \rho)^2 + \rho^2 = 4\rho^2.$ Esto da $2\rho^2 + 2\rho - 1 = 0,$ así que $\rho = \tfrac{\sqrt3 - 1}{2}.$ El círculo pequeño de radio $t$ se ubica en $\left(\tfrac12, \tfrac12\right),$ y es tangente a un semicírculo cuando su distancia a ese centro es igual a $\rho + t.$ Esa distancia es $\sqrt{2 - \sqrt3},$ así que $t = \sqrt{2 - \sqrt3} - \rho,$ y el diámetro es $2t = \sqrt6 - \sqrt2$ $- \sqrt3 + 1 = (\sqrt3 - 1)(\sqrt2 - 1).$ Así que $a + b + c + d = 3$ $+ (-1) + 2 + (-1) = 3.$ Por lo tanto, la respuesta es A.

Let each semicircle have radius $\rho,$ with centers like $(\rho, 0)$ and $(1, \rho).$ Adjacent semicircles are tangent, so these centers are $2\rho$ apart: $(1 - \rho)^2 + \rho^2 = 4\rho^2.$ This gives $2\rho^2 + 2\rho - 1 = 0,$ so $\rho = \tfrac{\sqrt3 - 1}{2}.$ The small circle of radius $t$ sits at $\left(\tfrac12, \tfrac12\right),$ and it's tangent to a semicircle when its distance to that center equals $\rho + t.$ That distance is $\sqrt{2 - \sqrt3},$ so $t = \sqrt{2 - \sqrt3} - \rho,$ and the diameter is $2t = \sqrt6 - \sqrt2$ $- \sqrt3 + 1 = (\sqrt3 - 1)(\sqrt2 - 1).$ So $a + b + c + d = 3$ $+ (-1) + 2 + (-1) = 3.$ Therefore, the answer is A.

2025 AMC 10B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años