Question

Un código de escaneo consiste en una cuadrícula de $7 \times 7$ cuadrados, con algunos de sus cuadrados coloreados de negro y el resto de blanco. Debe haber al menos un cuadrado de cada color en esta cuadrícula de $49$ cuadrados.

Un código de escaneo se llama simétrico si su apariencia no cambia cuando el cuadrado completo se rota un múltiplo de $90^{\circ}$ en sentido antihorario alrededor de su centro, ni cuando se refleja a través de una recta que une esquinas opuestas o una recta que une los puntos medios de lados opuestos.

¿Cuál es el número total de códigos de escaneo simétricos posibles?

A scanning code consists of a $7 \times 7$ grid of squares, with some of its squares colored black and the rest colored white. There must be at least one square of each color in this grid of $49$ squares.

A scanning code is called symmetric if its look does not change when the entire square is rotated by a multiple of $90^{\circ}$ counterclockwise around its center, nor when it is reflected across a line joining opposite corners or a line joining midpoints of opposite sides.

What is the total number of possible symmetric scanning codes?

$510$

$1022$

$8190$

$8192$

$65,534$

Solución:

Bajo las simetrías del cuadrado, la cuadrícula de $7\times7$ se divide en $10$ órbitas de cuadrados. Una vez que se colorea un cuadrado de cada órbita, la simetría determina los colores de todos los demás cuadrados de esa órbita.

Por lo tanto, hay $2^{10}$ coloraciones simétricas antes de aplicar la condición de usar ambos colores. Las coloraciones todo negro y todo blanco no están permitidas.

El número total de códigos de escaneo simétricos válidos es $2^{10}-2=1022$ . Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Under the symmetries of the square, the $7\times7$ grid splits into $10$ orbits of squares. Once one square in each orbit is colored, symmetry forces the colors of all other squares in that orbit.

There are therefore $2^{10}$ symmetric colorings before the condition about using both colors. The all-black and all-white colorings are not allowed.

The total number of valid symmetric scanning codes is $2^{10}-2=1022$ . Thus, B is the correct answer.

2018 AMC 10A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años