Question

¿Para cuántos pares ordenados $(b,c)$ de enteros positivos ninguna de las ecuaciones $x^2+bx+c=0$ ni $x^2+cx+b=0$ tiene dos soluciones reales distintas?

For how many ordered pairs $(b,c)$ of positive integers does neither $x^2+bx+c=0$ nor $x^2+cx+b=0$ have two distinct real solutions?

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

Solución:

Una cuadrática no tiene dos soluciones reales distintas exactamente cuando su discriminante es no positivo. Así, necesitamos $b^2-4c\le0\qquad c^2-4b\le0,$ es decir, $b^2\le4c$ y $c^2\le4b$ .

De $b^2\le4c$ , obtenemos $b^4\le16c^2$ . Combinando esto con $c^2\le4b$ se obtiene $b^4\le64b$ , así que $b\le4$ .

Ahora comprueba $b=1,2,3,4$ . Las desigualdades dan respectivamente $\begin{gathered} (c=1,2),\quad (c=1,2), \\ \quad (c=3),\quad (c=4). \end{gathered}$

Hay $2+2+1+1=6$ pares ordenados.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

A quadratic fails to have two distinct real solutions exactly when its discriminant is nonpositive. Thus we need $b^2-4c\le0\qquad c^2-4b\le0,$ or $b^2\le4c$ and $c^2\le4b$ .

From $b^2\le4c$ , we get $b^4\le16c^2$ . Combining this with $c^2\le4b$ gives $b^4\le64b$ , so $b\le4$ .

Now check $b=1,2,3,4$ . The inequalities give respectively $\begin{gathered} (c=1,2),\quad (c=1,2), \\ \quad (c=3),\quad (c=4). \end{gathered}$

There are $2+2+1+1=6$ ordered pairs.

Thus, B is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años