Question

El rombo $ABCD$ tiene lado $2$ y $\angle B = 120^\circ$ . La región $R$ consiste en todos los puntos dentro del rombo que están más cerca del vértice $B$ que de cualquiera de los otros tres vértices. ¿Cuál es el área de $R$ ?

Rhombus $ABCD$ has side length $2$ and $\angle B = 120^\circ$ . Region $R$ consists of all points inside the rhombus that are closer to vertex $B$ than any of the other three vertices. What is the area of $R?$

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

$1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$2$

Solución:

Los puntos más cercanos a $B$ que a otro vértice están delimitados por las mediatrices de $BA$ , $BC$ y $BD$ . La mediatriz de $BD$ es la diagonal $AC$ , así que la región buscada está en $\triangle ABC$ .

El triángulo $ABC$ tiene área $\dfrac12\cdot2\cdot2\sin120^\circ=\sqrt3$ . Las mediatrices de $BA$ y $BC$ recortan dos triángulos $30$ - $60$ - $90$ congruentes, cada uno con área $\dfrac{\sqrt3}{6}$ .

Por lo tanto, el área buscada es $\sqrt3-2\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The points closer to $B$ than to another vertex are bounded by the perpendicular bisectors of $BA$ , $BC$ , and $BD$ . The bisector of $BD$ is diagonal $AC$ , so the desired region lies in $\triangle ABC$ .

Triangle $ABC$ has area $\dfrac12\cdot2\cdot2\sin120^\circ=\sqrt3$ . The perpendicular bisectors of $BA$ and $BC$ cut off two congruent $30$ - $60$ - $90$ triangles, each with area $\dfrac{\sqrt3}{6}$ .

Therefore the desired area is $\sqrt3-2\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$ .

Thus, C is the correct answer.

2011 AMC 10B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años