Question

¿De cuántas maneras se puede reordenar la sucesión $1,2,3,4,5$ de modo que no haya tres términos consecutivos crecientes ni tres términos consecutivos decrecientes?

In how many ways can the sequence $1,2,3,4,5$ be rearranged so that no three consecutive terms are increasing and no three consecutive terms are decreasing?

$10$

$18$

$24$

$32$

$44$

Solución en video:

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Solución escrita:

Una permutación es válida exactamente cuando los cuatro signos de comparación entre términos consecutivos se alternan. Por lo tanto, los signos deben ser sube-baja-sube-baja o baja-sube-baja-sube.

Para el patrón sube-baja-sube-baja, un conteo directo según el valor central, o de forma equivalente el conteo estándar de permutaciones alternantes de cinco números distintos, da $16$ permutaciones. Reemplazar cada elemento $x$ por $6-x$ da una biyección de estas con las permutaciones baja-sube-baja-sube, así que hay otras $16$ .

El número total de reordenamientos válidos es $16+16=32$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

A permutation is valid exactly when the four comparison signs between consecutive terms alternate. Thus the signs must be either up-down-up-down or down-up-down-up.

For the up-down-up-down pattern, a direct count by the middle value, or equivalently the standard alternating-permutation count for five distinct numbers, gives $16$ permutations. Replacing every entry $x$ by $6-x$ gives a bijection from these to the down-up-down-up permutations, so there are another $16$ .

The total number of valid rearrangements is $16+16=32$ .

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 20

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 20 en otros años