¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a la siguiente? \beginaligned &(2+3)(2^2+3^2)\ &\quad×(2^4+3^4)(2^8+3^8)\ &\quad×(2^16+3^16)(2^32+3^32)\ &\quad×(2^64+3^64)? \endaligned

(B) 3^127 + 2^127 + 2 × 3^63 + 3 × 2^63

2021 AMC 10A Spring — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? $(2^2-2)-(3^2-3)+(4^2-4)?$

What is the value of $(2^2-2)-(3^2-3)+(4^2-4)?$

$1$

$2$

$5$

$8$

$12$

Respuesta: D

Conceptos:orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Evalúa cada expresión entre paréntesis antes de combinar los signos.

Evaluate each parenthesized expression before combining the signs

Pista grande:

Observa que cada término tiene la forma $n^2-n$ .

Notice that each term has the form $n^2-n$

Solución:

$\begin{aligned} (2^2 - 2) - &(3^2 - 3) + (4^2 - 4) \\ &= 2 - 6 + 12 \\ &= 8. \end{aligned}$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

$\begin{aligned} (2^2 - 2) - &(3^2 - 3) + (4^2 - 4) \\ &= 2 - 6 + 12 \\ &= 8. \end{aligned}$

Thus, D is the correct answer.

2.

La escuela secundaria de Portia tiene $3$ veces más estudiantes que la escuela secundaria de Lara. Las dos escuelas tienen en total $2600$ estudiantes. ¿Cuántos estudiantes tiene la escuela secundaria de Portia?

Portia’s high school has $3$ times as many students as Lara’s high school. The two high schools have a total of $2600$ students. How many students does Portia’s high school have?

$600$

$650$

$1950$

$2000$

$2050$

Respuesta: C

Conceptos:razón y proporción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Considera la matrícula de Lara como una sola parte.

Let Lara’s enrollment be one part

Pista grande:

Portia tiene tres de las cuatro partes iguales del total.

Portia has three of the four equal parts of the total

Solución:

Sea $x$ el número de estudiantes de la escuela de Lara. Entonces la escuela de Portia tiene $3x$ estudiantes.

Por lo tanto, $\begin{aligned} 3x + x &= 2600 \\ x &= 650. \end{aligned}$ Entonces $3x = 1950$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $x$ be the number of students in Lara’s high school. Then Portia’s high school has $3x$ students.

Therefore, $\begin{aligned} 3x + x &= 2600 \\ x &= 650. \end{aligned}$ Then $3x = 1950.$

Thus, C is the correct answer.

3.

La suma de dos números naturales es $17{,}402.$ Uno de los dos números es divisible entre $10.$ Si se borra la cifra de las unidades de ese número, se obtiene el otro número. ¿Cuál es la diferencia de estos dos números?

The sum of two natural numbers is $17{,}402.$ One of the two numbers is divisible by $10.$ If the units digit of that number is erased, the other number is obtained. What is the difference of these two numbers?

$10{,}272$

$11{,}700$

$13{,}362$

$14{,}238$

$15{,}426$

Respuesta: D

Conceptos:valor posicional ecuación lineal

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Si al eliminar el cero final se obtiene el otro número, entonces el número mayor es diez veces el menor.

If deleting the final zero gives the other number, the larger number is ten times the smaller one

Pista grande:

Usa la suma para hallar primero el número menor.

Use the sum to find the smaller number first

Solución en video:

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Solución escrita:

Sean $x$ e $y$ los dos números. Sin pérdida de generalidad, supongamos que $x$ es divisible entre $10$ . Entonces la cifra de las unidades de $x$ es $0$ .

Borrar la cifra de las unidades equivale, en esencia, a dividir $x$ entre $10$ . El enunciado también nos indica que $\dfrac{x}{10} = y$ .

Por lo tanto, $\begin{aligned} \dfrac{x}{10} + x &= 17,402 \\ \dfrac{11x}{10} &= 17,402 \\ x &= 15,820. \end{aligned}$ Entonces la diferencia de los dos números es $x - \dfrac{x}{10} = 14,238.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $x$ and $y$ be the two numbers. WLOG, let $x$ be divisible by $10.$ Then the units digit of $x$ is $0.$

If we erase the units digit, then we are essentially dividing $x$ by $10.$ The problem statement also gives us that $\dfrac{x}{10} = y.$

Therefore, $\begin{aligned} \dfrac{x}{10} + x &= 17,402 \\ \dfrac{11x}{10} &= 17,402 \\ x &= 15,820. \end{aligned}$ Then $x - \dfrac{x}{10} = 14,238.$

Thus, D is the correct answer.

4.

Un carrito rueda cuesta abajo por una colina, recorriendo $5$ pulgadas en el primer segundo y acelerando de modo que, durante cada intervalo sucesivo de $1$ segundo, recorre $7$ pulgadas más que durante el intervalo de $1$ segundo anterior. El carrito tarda $30$ segundos en llegar al pie de la colina. ¿Qué distancia, en pulgadas, recorre?

A cart rolls down a hill, traveling $5$ inches the first second and accelerating so that during each successive $1$ -second time interval, it travels $7$ inches more than during the previous $1$ -second interval. The cart takes $30$ seconds to reach the bottom of the hill. How far, in inches, does it travel?

$215$

$360$

$2992$

$3195$

$3242$

Respuesta: D

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Las distancias recorridas cada segundo forman una sucesión aritmética.

The distances traveled each second form an arithmetic sequence

Pista grande:

Halla el término $30$ y luego usa el promedio del primer y el último término.

Find the $30$ th term, then use the average of the first and last terms

Solución en video:

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Solución escrita:

La distancia recorrida cada segundo forma una sucesión aritmética: $5, 5 + 7, 5 + 2 \cdot 7, \ldots$

La fórmula estándar para la suma de una sucesión aritmética es $n\cdot\dfrac{a_1+a_n}{2}.$ Sabemos que el número de términos es $30$ y que el primer término es $5$ . El último término es $5 + 29 \cdot 7 = 208.$

Al sustituir estos valores en la fórmula se obtiene $30 \cdot \dfrac{5 + 208}{2} = 15 \cdot 213 = 3195.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The distance travelled every second forms an arithmetic sequence: $5, 5 + 7, 5 + 2 \cdot 7, \ldots$

The standard arithmetic-sequence sum formula is $n\cdot\dfrac{a_1+a_n}{2}.$ We know the number of terms is $30$ and the first term is $5.$ The last term is $5 + 29 \cdot 7 = 208.$

Plugging these values into the expression yields $30 \cdot \dfrac{5 + 208}{2} = 15 \cdot 213 = 3195.$

Thus, D is the correct answer.

5.

Las calificaciones de un examen de una clase con $k > 12$ estudiantes tienen una media de $8.$ La media de un conjunto de $12$ de estas calificaciones es $14.$ ¿Cuál es la media de las calificaciones restantes en términos de $k$ ?

The quiz scores of a class with $k > 12$ students have a mean of $8.$ The mean of a collection of $12$ of these quiz scores is $14.$ What is the mean of the remaining quiz scores in terms of $k?$

$\dfrac{14-8}{k-12}$

$\dfrac{8k-168}{k-12}$

$\dfrac{14}{12} - \dfrac{8}{k}$

$\dfrac{14(k-12)}{k^2}$

$\dfrac{14(k-12)}{8k}$

Respuesta: B

Conceptos:media manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Convierte cada media en una puntuación total.

Convert each mean into a total score

Pista grande:

Del total de la clase, resta la suma conocida de las $12$ calificaciones elegidas.

Subtract the known total for the chosen $12$ scores from the class total

Solución en video:

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Solución escrita:

La suma de las calificaciones de toda la clase es $8k.$ La suma de las calificaciones del conjunto de $12$ es $12 \cdot 14 = 168.$

Esto significa que la suma de las calificaciones de quienes no están en el conjunto es $8k - 168.$ Además, hay $k - 12$ personas fuera del conjunto. Por lo tanto, la media es $\dfrac{8k - 168}{k - 12}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The sum of the scores of everyone in the class is $8k.$ The sum of the scores in the collection of $12$ is $12 \cdot 14 = 168.$

This means that the sum of the scores of everyone not in the collection is $8k - 168.$ There are also $k - 12$ people not in the collection. Therefore, the average is $\dfrac{8k - 168}{k - 12}.$

Thus, B is the correct answer.

6.

Chantal y Jean comienzan a caminar desde el inicio de un sendero hacia una torre de vigilancia contra incendios. Jean lleva una mochila pesada y camina más despacio. Chantal empieza a caminar a $4$ millas por hora. A mitad de camino hacia la torre, el sendero se vuelve muy empinado y Chantal reduce su velocidad a $2$ millas por hora. Tras llegar a la torre, da media vuelta de inmediato y desciende la parte empinada del sendero a $3$ millas por hora. Se encuentra con Jean en el punto medio. ¿Cuál fue la velocidad promedio de Jean, en millas por hora, hasta que se encuentran?

Chantal and Jean start hiking from a trailhead toward a fire tower. Jean is wearing a heavy backpack and walks slower. Chantal starts walking at $4$ miles per hour. Halfway to the tower, the trail becomes really steep, and Chantal slows down to $2$ miles per hour. After reaching the tower, she immediately turns around and descends the steep part of the trail at $3$ miles per hour. She meets Jean at the halfway point. What was Jean’s average speed, in miles per hour, until they meet?

$\dfrac{12}{13}$

$1$

$\dfrac{13}{12}$

$\dfrac{24}{13}$

$2$

Respuesta: A

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Sea $d$ la mitad de la longitud del sendero.

Let half the trail length be $d$

Pista grande:

Jean llega al punto medio exactamente en el mismo tiempo que Chantal emplea en sus tres tramos de caminata.

Jean reaches the halfway point in exactly the same time Chantal takes for her three hiking segments

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $2d$ la distancia total hasta la torre, donde $d > 0$ .

Entonces Chantal caminó durante $\dfrac{d}{4} + \dfrac{d}{2} + \dfrac{d}{3} = \dfrac{13d}{12}$ horas.

Si Jean recorrió $d$ millas en $\dfrac{13d}{12}$ horas, entonces su velocidad fue $d \div \dfrac{13d}{12} = \dfrac{12}{13}$ millas por hora.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $2d$ be the distance from the trailhead to the fire tower, where $d > 0.$

Then Chantal hiked for $\dfrac{d}{4} + \dfrac{d}{2} + \dfrac{d}{3} = \dfrac{13d}{12}$ hours.

If Jean travelled $d$ miles in $\dfrac{13d}{12}$ hours, then his speed was $d \div \dfrac{13d}{12} = \dfrac{12}{13}$ miles per hour.

Thus, A is the correct answer.

7.

Tom tiene una colección de $13$ serpientes, de las cuales $4$ son moradas y $5$ son felices. Él observa que

• todas sus serpientes felices saben sumar,

• ninguna de sus serpientes moradas sabe restar, y

• todas sus serpientes que no saben restar tampoco saben sumar.

¿Cuál de estas conclusiones se puede deducir acerca de las serpientes de Tom?

Tom has a collection of $13$ snakes, $4$ of which are purple and $5$ of which are happy. He observes that

• all of his happy snakes can add,

• none of his purple snakes can subtract, and

• all of his snakes that can’t subtract also can’t add.

Which of these conclusions can be drawn about Tom’s snakes?

Las serpientes moradas saben sumar.

Purple snakes can add.

Las serpientes moradas son felices.

Purple snakes are happy.

Las serpientes que saben sumar son moradas.

Snakes that can add are purple.

Las serpientes felices no son moradas.

Happy snakes are not purple.

Las serpientes felices no saben restar.

Happy snakes can’t subtract.

Respuesta: D

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Traduce cada afirmación en una implicación.

Translate each statement into an implication

Pista grande:

Combina “morada implica que no sabe restar” con “no sabe restar implica que no sabe sumar”.

Combine purple implies cannot subtract with cannot subtract implies cannot add

Solución en video:

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Solución escrita:

Observa que la tercera condición garantiza que las serpientes moradas no saben sumar.

También sabemos que todas las serpientes felices saben sumar, lo que significa que las serpientes felices tampoco pueden ser moradas.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that the third condition ensures that purple snakes can’t add.

We also know that all happy snakes can add, which means that happy snakes can’t be purple as well.

Thus, D is the correct answer.

8.

Cuando un estudiante multiplicó el número $66$ por el decimal periódico $\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{a} \ \underline{b}\ldots=\underline{1}.\overline{\underline{a} \ \underline{b}},$ donde $a$ y $b$ son cifras, no se dio cuenta de la notación y simplemente multiplicó $66$ por $\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b}$ . Más tarde descubrió que su resultado es $0.5$ menor que el resultado correcto. ¿Cuál es el número de $2$ cifras $\underline{a} \ \underline{b}$ ?

When a student multiplied the number $66$ by the repeating decimal, $\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{a} \ \underline{b}\ldots=\underline{1}.\overline{\underline{a} \ \underline{b}},$ where $a$ and $b$ are digits, he did not notice the notation and just multiplied $66$ times $\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b}.$ Later he found that his answer is $0.5$ less than the correct answer. What is the $2$ -digit integer $\underline{a} \ \underline{b}?$

$15$

$30$

$45$

$60$

$75$

Respuesta: E

Conceptos:decimal periódico sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Compara $1.\overline{ab}$ con $1.ab$ .

Compare $1.\overline{ab}$ with $1.ab$

Pista grande:

La cola periódica que aparece después de la posición de las centésimas explica el error.

The repeating tail after the hundredths place accounts for the error

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $N=10a+b,$ el entero de dos cifras formado por los dígitos $a$ y $b.$ Entonces $1.\overline{ab}=1+\frac{N}{99}$ mientras que el decimal finito que usó el estudiante es $1.ab=1+\frac{N}{100}.$

El producto correcto excede al producto del estudiante en $0.5,$ de modo que $66\left(\frac{N}{99}-\frac{N}{100}\right) =\frac{N}{150}=0.5.$ Por lo tanto, $N=75.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let $N=10a+b,$ the two-digit integer formed by the digits $a$ and $b.$ Then $1.\overline{ab}=1+\frac{N}{99}$ while the terminating decimal the student used is $1.ab=1+\frac{N}{100}.$

The correct product exceeds the student’s product by $0.5,$ so $66\left(\frac{N}{99}-\frac{N}{100}\right) =\frac{N}{150}=0.5.$ Hence $N=75.$

Thus, E is the correct answer.

9.

¿Cuál es el menor valor posible de $(xy-1)^2+(x+y)^2$ para números reales $x$ e $y$ ?

What is the least possible value of $(xy-1)^2+(x+y)^2$ for real numbers $x$ and $y?$

$0$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$2$

Respuesta: D

Conceptos:optimización manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Desarrolla la expresión y busca cancelaciones.

Expand the expression and look for cancellation

Pista grande:

Tras desarrollarla, todos los términos salvo la constante son no negativos.

After expansion, every term except the constant is nonnegative

Solución en video:

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Solución escrita:

Al desarrollar, obtenemos $\begin{gathered} x^2y^2 - 2xy + 1 + x^2 + 2xy + y^2 \\ = x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1. \end{gathered}$ Observa que todo cuadrado debe ser no negativo. Por lo tanto, el valor mínimo se alcanza cuando todos los términos salvo el $1$ son $0$ , lo que hace que la suma sea $1$ .

Esto se logra cuando $x = y = 0$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Expanding, we get $\begin{gathered} x^2y^2 - 2xy + 1 + x^2 + 2xy + y^2 \\ = x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1. \end{gathered}$ Note that every square must be non-negative. Therefore, the minimum value is when all the terms except $1$ are $0,$ making the sum $1.$

This is attainable when $x = y = 0.$

Thus, D is the correct answer.

10.

¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a la siguiente? $\begin{aligned} &(2+3)(2^2+3^2)\\ &\quad\cdot(2^4+3^4)(2^8+3^8)\\ &\quad\cdot(2^{16}+3^{16})(2^{32}+3^{32})\\ &\quad\cdot(2^{64}+3^{64})? \end{aligned}$

Which of the following is equivalent to $\begin{aligned} &(2+3)(2^2+3^2)\\ &\quad\cdot(2^4+3^4)(2^8+3^8)\\ &\quad\cdot(2^{16}+3^{16})(2^{32}+3^{32})\\ &\quad\cdot(2^{64}+3^{64})? \end{aligned}$

$3^{127} + 2^{127}$

$3^{127} + 2^{127} + 2 \cdot 3^{63}$ $+ 3 \cdot 2^{63}$

$3^{128} - 2^{128}$

$3^{128} + 2^{128}$

$5^{127}$

Respuesta: C

Conceptos:diferencia de cuadrados telescópica

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Multiplica por $3-2,$ que es igual a $1$ .

Multiply by $3-2,$ which is equal to $1$

Pista grande:

Cada factor genera entonces la siguiente diferencia de cuadrados.

Each factor then creates the next difference of squares

Solución en video:

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Solución escrita:

Multiplica el producto por $3-2=1.$ Al aplicar repetidamente la identidad de diferencia de cuadrados se obtiene $\begin{aligned} (3-2)(3+2)&=3^2-2^2,\\ (3^2-2^2)(3^2+2^2)&=3^4-2^4, \end{aligned}$ y la misma cancelación continúa hasta el último factor. Por lo tanto, el producto es $3^{128}-2^{128}.$

Así, C es la respuesta correcta.

Multiply the product by $3-2=1.$ Repeatedly applying the difference-of-squares identity gives $\begin{aligned} (3-2)(3+2)&=3^2-2^2,\\ (3^2-2^2)(3^2+2^2)&=3^4-2^4, \end{aligned}$ and the same cancellation continues through the final factor. Therefore the product is $3^{128}-2^{128}.$

Thus, C is the correct answer.

11.

¿Para cuál de los siguientes enteros $b$ el número en base $b$ dado por $2021_b - 221_b$ no es divisible entre $3$ ?

For which of the following integers $b$ is the base- $b$ number $2021_b - 221_b$ not divisible by $3?$

$3$

$4$

$6$

$7$

$8$

Respuesta: E

Conceptos:base numérica divisibilidad

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Convierte $2021_b-221_b$ a base $10$ .

Convert $2021_b-221_b$ to base $10$

Pista grande:

Comprueba cuándo $2b^2(b-1)$ es divisible entre $3$ .

Check when $2b^2(b-1)$ is divisible by $3$

Solución en video:

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Solución escrita:

Usando la definición de base, podemos expresar esta cantidad en base $10$ : $2b^3 + 2b + 1 - 2b^2 - 2b - 1$ $= 2b^3 - 2b^2 = 2b^2(b - 1).$

Para que sea divisible entre $3,$ o bien $b$ o bien $b - 1$ debe ser divisible entre $3.$

La única opción de respuesta que no satisface ninguna de estas condiciones es $8.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

We can express this expression in base $10$ using the definition of bases: $2b^3 + 2b + 1 - 2b^2 - 2b - 1$ $= 2b^3 - 2b^2 = 2b^2(b - 1).$

For this to be divisible by $3,$ either $b$ or $b - 1$ must be divisible by $3.$

The only answer choice that satisfies neither of these conditions is $8.$

Thus, E is the correct answer.

12.

Dos conos circulares rectos con los vértices hacia abajo, como se muestra en la figura de abajo, contienen la misma cantidad de líquido. Los radios de las superficies superiores del líquido son $3$ cm y $6$ cm. En cada cono se deja caer una canica esférica de radio $1$ cm, que se hunde hasta el fondo y queda completamente sumergida sin que se derrame líquido. ¿Cuál es la razón entre la subida del nivel del líquido en el cono estrecho y la subida del nivel del líquido en el cono ancho?

Two right circular cones with vertices facing down as shown in the figure below contain the same amount of liquid. The radii of the tops of the liquid surfaces are $3$ cm and $6$ cm. Into each cone is dropped a spherical marble of radius $1$ cm, which sinks to the bottom and is completely submerged without spilling any liquid. What is the ratio of the rise of the liquid level in the narrow cone to the rise of the liquid level in the wide cone?

$1:1$

$47:43$

$2:1$

$40:13$

$4:1$

Respuesta: E

Conceptos:cono semejanza volumen

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Los volúmenes iguales de líquido relacionan las dos alturas iniciales del líquido.

Equal liquid volumes relate the two initial liquid heights

Pista grande:

La canica añade el mismo volumen desplazado en cada cono, así que los volúmenes del cono por debajo de la superficie siguen siendo iguales al final.

The marble adds the same displaced volume in each cone, so the final cone-below-surface volumes are still equal

Solución en video:

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Solución escrita:

Sean $h_1$ y $h_2$ las alturas iniciales del líquido en el cono estrecho y en el ancho. Como los volúmenes de líquido son iguales,

$\frac13\pi(3)^2h_1=\frac13\pi(6)^2h_2,$

entonces $h_1=4h_2.$

Después de dejar caer las canicas idénticas, cada cono debe contener el mismo volumen final por debajo de la superficie del líquido: el volumen original de líquido más el volumen de una canica. Si los nuevos radios de la superficie del líquido son $3x$ y $6y,$ la semejanza da nuevas alturas $h_1x$ y $h_2y.$ Así,

$\frac13\pi(3x)^2h_1x=\frac13\pi(6y)^2h_2y.$

Usando $h_1=4h_2,$ esto se simplifica a $x^3=y^3,$ de modo que $x=y.$ Por lo tanto, la razón de subida es

$\begin{aligned} h_1(x-1):h_2(y-1) &= h_1:h_2 \\ &= 4:1. \end{aligned}$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let the initial liquid heights in the narrow and wide cones be $h_1$ and $h_2.$ Since the liquid volumes are equal,

$\frac13\pi(3)^2h_1=\frac13\pi(6)^2h_2,$

so $h_1=4h_2.$

After the identical marbles are dropped in, each cone must contain the same final volume below the liquid surface: the original liquid volume plus the volume of one marble. If the new liquid-surface radii are $3x$ and $6y,$ similarity gives new heights $h_1x$ and $h_2y.$ Thus

$\frac13\pi(3x)^2h_1x=\frac13\pi(6y)^2h_2y.$

Using $h_1=4h_2,$ this simplifies to $x^3=y^3,$ so $x=y.$ The rise ratio is therefore

$\begin{aligned} h_1(x-1):h_2(y-1) &= h_1:h_2 \\ &= 4:1. \end{aligned}$

Thus, E is the correct answer.

13.

¿Cuál es el volumen del tetraedro $ABCD$ con longitudes de aristas $AB = 2,$ $AC = 3,$ $AD = 4,$ $BC = \sqrt{13},$ $BD = 2\sqrt{5},$ y $CD = 5$ ?

What is the volume of tetrahedron $ABCD$ with edge lengths $AB = 2,$ $AC = 3,$ $AD = 4,$ $BC = \sqrt{13},$ $BD = 2\sqrt{5},$ and $CD = 5?$

$3$

$2\sqrt{3}$

$4$

$3\sqrt{3}$

$6$

Respuesta: C

Conceptos:volumen Geometría 3D Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Prueba a colocar $A$ en el origen con $AB,AC,AD$ a lo largo de ejes perpendiculares.

Try placing $A$ at the origin with $AB,AC,AD$ along perpendicular axes

Pista grande:

Comprueba que las longitudes de las aristas opuestas dadas coinciden con este modelo de esquina rectangular.

Check that the given opposite edge lengths match this rectangular-corner model

Solución en video:

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Solución escrita:

Coloca $A=(0,0,0),$ $B=(2,0,0),$ $C=(0,3,0),$ y $D=(0,0,4).$ Entonces

$\begin{aligned} BC &= \sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}, \\ BD &= \sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5, \\ CD &= \sqrt{3^2+4^2}=5, \end{aligned}$

así que este modelo de coordenadas coincide con todas las longitudes de aristas dadas. El tetraedro es un tetraedro de esquina rectangular con longitudes de aristas perpendiculares $2,3,4$ desde $A,$ por lo que su volumen es

$\frac16(2)(3)(4)=4.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Place $A=(0,0,0),$ $B=(2,0,0),$ $C=(0,3,0),$ and $D=(0,0,4).$ Then

$\begin{aligned} BC &= \sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}, \\ BD &= \sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5, \\ CD &= \sqrt{3^2+4^2}=5, \end{aligned}$

so this coordinate model matches all the given edge lengths. The tetrahedron is a rectangular-corner tetrahedron with perpendicular edge lengths $2,3,4$ from $A,$ so its volume is

$\frac16(2)(3)(4)=4.$

Thus, C is the correct answer.

14.

Todas las raíces del polinomio $\begin{aligned} &z^6-10z^5+Az^4+Bz^3\\ &\quad+Cz^2+Dz+16 \end{aligned}$ son enteros positivos, posiblemente repetidos. ¿Cuál es el valor de $B$ ?

All the roots of the polynomial $\begin{aligned} &z^6-10z^5+Az^4+Bz^3\\ &\quad+Cz^2+Dz+16 \end{aligned}$ are positive integers, possibly repeated. What is the value of $B?$

$-88$

$-80$

$-64$

$-41$

$-40$

Respuesta: A

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Usa las fórmulas de Vieta para determinar la suma y el producto de las seis raíces enteras positivas.

Use Vieta to determine the sum and product of the six positive integer roots

Pista grande:

Halla los únicos seis enteros positivos con producto $16$ y suma $10$ .

Find the only six positive integers with product $16$ and sum $10$

Solución en video:

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Solución escrita:

Por las fórmulas de Vieta, las seis raíces tienen suma $10$ y producto $16.$ Como el producto es una potencia de $2,$ toda raíz entera positiva es una potencia de $2.$ Al distribuir los cuatro factores de $2$ entre seis raíces, la menor suma posible se obtiene cuando cuatro raíces son $2$ y dos raíces son $1$ ; esa suma ya es $10.$ Por tanto, las raíces son $1,1,2,2,2,2.$

El coeficiente $B$ es el negativo de la suma de todos los productos de tres raíces. Elegir cero, una o dos de las dos raíces iguales a $1$ da $\begin{aligned} B&=-\left(\binom43 2^3+2\binom42 2^2\right.\\ &\qquad\left.+\binom41 2\right)\\ &=-88. \end{aligned}$

Así, A es la respuesta correcta.

By Vieta’s formulas, the six roots have sum $10$ and product $16.$ Because the product is a power of $2,$ every positive integer root is a power of $2.$ Distributing the four factors of $2$ among six roots gives the least possible sum when four roots are $2$ and two roots are $1$ ; that sum is already $10.$ Hence the roots are $1,1,2,2,2,2.$

The coefficient $B$ is the negative of the sum of all products of three roots. Choosing zero, one, or two of the two roots equal to $1$ gives $\begin{aligned} B&=-\left(\binom43 2^3+2\binom42 2^2\right.\\ &\qquad\left.+\binom41 2\right)\\ &=-88. \end{aligned}$

Thus, A is the correct answer.

15.

Se deben seleccionar valores para $A,$ $B,$ $C,$ y $D$ de $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ sin repetición (es decir, no hay dos letras con el mismo valor). ¿De cuántas maneras se pueden hacer tales elecciones para que las dos curvas $y=Ax^2+B$ y $y=Cx^2+D$ se corten?

El orden en que se enumeran las curvas no importa; por ejemplo, las elecciones $A=3,$ $B=2,$ $C=4,$ $D=1$ se consideran iguales a las elecciones $A=4,$ $B=1,$ $C=3,$ $D=2.$

Values for $A,$ $B,$ $C,$ and $D$ are to be selected from $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ without replacement (i.e., no two letters have the same value). How many ways are there to make such choices so that the two curves $y=Ax^2+B$ and $y=Cx^2+D$ intersect?

(The order in which the curves are listed does not matter; for example, the choices $A=3,$ $B=2,$ $C=4,$ $D=1$ is considered the same as the choices $A=4,$ $B=1,$ $C=3,$ $D=2.$ )

$30$

$60$

$90$

$180$

$360$

Respuesta: C

Conceptos:parábola combinaciones

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Las parábolas se cortan exactamente cuando el valor despejado de $x^2$ es no negativo.

The parabolas intersect exactly when the solved value of $x^2$ is nonnegative

Pista grande:

Las dos diferencias $D-B$ y $A-C$ deben tener el mismo signo.

The two differences $D-B$ and $A-C$ must have the same sign

Solución en video:

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Solución escrita:

Igualando las dos ecuaciones, obtenemos $Ax^2 + B = Cx^2 + D$ $x^2(A - C) = D - B$ $x^2 = \dfrac{D - B}{A - C} \geq 0$ ya que los cuadrados son no negativos.

Esto significa que $D - B$ y $A - C$ deben tener ambos el mismo signo.

Si elegimos dos valores distintos para $(A, C)$ y $(B, D),$ hay $2$ maneras de disponerlos de modo que el numerador y el denominador tengan el mismo signo.

Sin embargo, tenemos que dividir entre $2$ , ya que las dos curvas no se consideran distintas.

Por lo tanto, el número total de tuplas es $\dfrac{1}{2} \binom{6}{2} \binom{4}{2} \cdot 2 = 90.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Setting the equations equal to each other, we get $Ax^2 + B = Cx^2 + D$ $x^2(A - C) = D - B$ $x^2 = \dfrac{D - B}{A - C} \geq 0$ since squares are non-negative.

This means $D - B$ and $A - C$ must both have the same sign.

If we choose two distinct values for $(A, C)$ and $(B, D),$ there are $2$ ways to arrange them such that the numerator and denominator both have the same sign.

We have to divide by $2,$ however, since the two curves are not considered distinct.

Therefore, the total number of tuples is $\dfrac{1}{2} \binom{6}{2} \binom{4}{2} \cdot 2 = 90.$

Thus, C is the correct answer.

16.

En la siguiente lista de números, el entero $n$ aparece $n$ veces en la lista para $1\leq n\leq200.$ $\begin{aligned} &1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\ldots,\\ &200,200,\ldots,200 \end{aligned}$ ¿Cuál es la mediana de los números de esta lista?

In the following list of numbers, the integer $n$ appears $n$ times in the list for $1\leq n\leq200.$ $\begin{aligned} &1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\ldots,\\ &200,200,\ldots,200 \end{aligned}$ What is the median of the numbers in this list?

$100.5$

$134$

$142$

$150.5$

$167$

Respuesta: C

Conceptos:mediana (datos)número triangular

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

La lista tiene $1+2+\cdots+200$ elementos.

The list has $1+2+\cdots+200$ entries

Pista grande:

Localiza las dos posiciones centrales usando números triangulares.

Locate the two middle positions using triangular numbers

Solución:

La lista contiene $\begin{aligned} 1+2+\cdots+200&=\frac{200\cdot201}{2}\\ &=20100 \end{aligned}$ entradas, de modo que sus dos posiciones centrales son $10050$ y $10051.$

Hay $\frac{141\cdot142}{2}=10011$ entradas hasta la última aparición de $141,$ y $\frac{142\cdot143}{2}=10153$ entradas hasta la última aparición de $142.$ Por tanto, ambas entradas centrales son $142,$ y la mediana es $142.$

Así, C es la respuesta correcta.

The list contains $\begin{aligned} 1+2+\cdots+200&=\frac{200\cdot201}{2}\\ &=20100 \end{aligned}$ entries, so its two middle positions are $10050$ and $10051.$

There are $\frac{141\cdot142}{2}=10011$ entries through the last $141,$ and $\frac{142\cdot143}{2}=10153$ entries through the last $142.$ Thus both middle entries are $142,$ so the median is $142.$

Thus, C is the correct answer.

17.

El trapecio $ABCD$ cumple $\overline{AB}\parallel\overline{CD},$ $BC=CD=43,$ y $\overline{AD}\perp\overline{BD}.$ Sea $O$ la intersección de las diagonales $\overline{AC}$ y $\overline{BD},$ y sea $P$ el punto medio de $\overline{BD}.$

Dado que $OP=11,$ la longitud de $AD$ se puede escribir en la forma $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $m+n$ ?

Trapezoid $ABCD$ has $\overline{AB}\parallel\overline{CD},$ $BC=CD=43,$ and $\overline{AD}\perp\overline{BD}.$ Let $O$ be the intersection of the diagonals $\overline{AC}$ and $\overline{BD},$ and let $P$ be the midpoint of $\overline{BD}.$

Given that $OP=11,$ the length of $AD$ can be written in the form $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. What is $m+n?$

$65$

$132$

$157$

$194$

$215$

Respuesta: D

Conceptos:trapecio semejanza Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Usa el triángulo isósceles para obtener un triángulo rectángulo que involucre el punto medio de $BD$ .

Use the isosceles triangle to get a right triangle involving the midpoint of $BD$

Pista grande:

El punto de intersección $O$ divide las diagonales en la razón de las bases paralelas.

The intersection point $O$ splits the diagonals in the ratio of the parallel bases

Solución en video:

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Solución escrita:

Como $BC=CD,$ la mediana desde $C$ hasta $BD$ es perpendicular a $BD.$ Por lo tanto, $\triangle BPC$ es un triángulo rectángulo. Sea $\angle DBC=\alpha.$ Como $AB\parallel CD,$ también tenemos $\angle ABD=\alpha,$ así que $\triangle BPC\sim\triangle BDA.$

Como $P$ es el punto medio de $BD,$ tenemos $\frac{BD}{BP}=2.$ En la semejanza, $BC$ corresponde a $AB,$ así que

$\begin{aligned} \frac{AB}{BC} &=2, \\ AB &=2\cdot43=86. \end{aligned}$

Además, $\triangle ABO\sim\triangle CDO,$ así que

$\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{CD}=2.$

Como $OP=11$ y $P$ es el punto medio de $BD,$ escribimos $BP=PD=t.$ Entonces $BO=t+11$ y $OD=t-11,$ así que

$\frac{t+11}{t-11}=2.$

Esto da $t=33,$ de modo que $BD=66.$ Finalmente, $\triangle ABD$ es rectángulo, así que

$\begin{aligned} AD &= \sqrt{AB^2-BD^2} \\ &= \sqrt{86^2-66^2} \\ &= 4\sqrt{190}. \end{aligned}$

Así, $m+n=4+190=194.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Because $BC=CD,$ the median from $C$ to $BD$ is perpendicular to $BD.$ Thus $\triangle BPC$ is a right triangle. Let $\angle DBC=\alpha.$ Since $AB\parallel CD,$ we also have $\angle ABD=\alpha,$ so $\triangle BPC\sim\triangle BDA.$

Since $P$ is the midpoint of $BD,$ we have $\frac{BD}{BP}=2.$ In the similarity, $BC$ corresponds to $AB,$ so

$\begin{aligned} \frac{AB}{BC} &=2, \\ AB &=2\cdot43=86. \end{aligned}$

Also, $\triangle ABO\sim\triangle CDO,$ so

$\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{CD}=2.$

Since $OP=11$ and $P$ is the midpoint of $BD,$ write $BP=PD=t.$ Then $BO=t+11$ and $OD=t-11,$ so

$\frac{t+11}{t-11}=2.$

This gives $t=33,$ hence $BD=66.$ Finally, $\triangle ABD$ is right, so

$\begin{aligned} AD &= \sqrt{AB^2-BD^2} \\ &= \sqrt{86^2-66^2} \\ &= 4\sqrt{190}. \end{aligned}$

Thus $m+n=4+190=194.$

Thus, D is the correct answer.

18.

Sea $f$ una función definida en el conjunto de los números racionales positivos con la propiedad de que $f(a\cdot b)=f(a)+f(b)$ para todos los números racionales positivos $a$ y $b.$ Supongamos que $f$ también cumple la propiedad de que $f(p)=p$ para todo número primo $p.$ ¿Para cuál de los siguientes números $x$ se cumple $f(x) < 0$ ?

Let $f$ be a function defined on the set of positive rational numbers with the property that $f(a\cdot b)=f(a)+f(b)$ for all positive rational numbers $a$ and $b.$ Suppose that $f$ also has the property that $f(p)=p$ for every prime number $p.$ For which of the following numbers $x$ is $f(x) < 0?$

$\dfrac{17}{32}$

$\dfrac{11}{16}$

$\dfrac{7}{9}$

$\dfrac{7}{6}$

$\dfrac{25}{11}$

Respuesta: E

Conceptos:ecuación funcional factorización en primos

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Primero determina $f(p^e)$ y $f(\frac{a}{b})$ .

First determine $f(p^e)$ and $f(\frac{a}{b})$

Pista grande:

Evalúa las opciones mediante la factorización en primos.

Evaluate the choices by prime factorization

Solución en video:

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Solución escrita:

El uso repetido de la ecuación funcional da $f(p^e)=ef(p)=ep$ para todo primo $p$ y todo entero positivo $e.$ Además, $f(a)=f\left(\frac ab\right)+f(b),$ de modo que $f(\frac{a}{b})=f(a)-f(b).$

Al evaluar las opciones mediante la factorización en primos, $\begin{aligned} f(\frac{17}{32})&=17-5\cdot2=7,\\ f(\frac{11}{16})&=11-4\cdot2=3,\\ f(\frac{7}{9})&=7-2\cdot3=1,\\ f(\frac{7}{6})&=7-2-3=2,\\ f(\frac{25}{11})&=2\cdot5-11=-1. \end{aligned}$ Solo el último valor es negativo.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Repeated use of the functional equation gives $f(p^e)=ef(p)=ep$ for every prime $p$ and positive integer $e.$ Also, $f(a)=f\left(\frac ab\right)+f(b),$ so $f(\frac{a}{b})=f(a)-f(b).$

Evaluating the choices by prime factorization, $\begin{aligned} f(\frac{17}{32})&=17-5\cdot2=7,\\ f(\frac{11}{16})&=11-4\cdot2=3,\\ f(\frac{7}{9})&=7-2\cdot3=1,\\ f(\frac{7}{6})&=7-2-3=2,\\ f(\frac{25}{11})&=2\cdot5-11=-1. \end{aligned}$ Only the final value is negative.

Thus, E is the correct answer.

19.

El área de la región limitada por la gráfica de $x^2+y^2 = 3|x-y| + 3|x+y|$ es $m+n\pi$ , donde $m$ y $n$ son enteros. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

The area of the region bounded by the graph of $x^2+y^2 = 3|x-y| + 3|x+y|$ is $m+n\pi,$ where $m$ and $n$ are integers. What is $m + n?$

$18$

$27$

$36$

$45$

$54$

Respuesta: E

Conceptos:valor absoluto círculo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Separa la gráfica según los signos de $x-y$ y $x+y$ .

Split the graph by the signs of $x-y$ and $x+y$

Pista grande:

Los cuatro casos dan arcos de semicírculo alrededor de un cuadrado central.

The four cases give semicircle arcs around a central square

Solución:

Considera los cuatro casos de signo para $x-y$ y $x+y.$ En un caso, por ejemplo, $|x-y|=x-y$ y $|x+y|=x+y,$ así que

$\begin{gathered} x^2+y^2=6x \\ \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^2+y^2=9. \end{gathered}$

Los otros tres casos dan de manera similar circunferencias de radio $3$ centradas en $(0,3),$ $(-3,0),$ y $(0,-3).$ Los arcos relevantes forman la frontera mostrada por estas cuatro piezas de circunferencia congruentes.

La región consta de un cuadrado central de lado $6,$ junto con cuatro semicírculos de radio $3.$ El cuadrado aporta un área de $36,$ y los cuatro semicírculos tienen el área de dos circunferencias completas de radio $3$ , es decir, $18\pi.$

Por lo tanto, el área es $36+18\pi,$ de modo que $m+n=36+18=54.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Consider the four sign cases for $x-y$ and $x+y.$ In one case, for example, $|x-y|=x-y$ and $|x+y|=x+y,$ so

$\begin{gathered} x^2+y^2=6x \\ \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^2+y^2=9. \end{gathered}$

The other three cases similarly give circles of radius $3$ centered at $(0,3),$ $(-3,0),$ and $(0,-3).$ The relevant arcs form the boundary shown by these four congruent circle pieces.

The region consists of a central square of side length $6,$ together with four semicircles of radius $3.$ The square contributes area $36,$ and the four semicircles have the area of two full radius- $3$ circles, namely $18\pi.$

Therefore the area is $36+18\pi,$ so $m+n=36+18=54.$

Thus, E is the correct answer.

20.

¿De cuántas maneras se puede reordenar la sucesión $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ de modo que no haya tres términos consecutivos crecientes ni tres términos consecutivos decrecientes?

In how many ways can the sequence $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ be rearranged so that no three consecutive terms are increasing and no three consecutive terms are decreasing?

$10$

$18$

$24$

$32$

$44$

Respuesta: D

Conceptos:arreglos con restricciones biyección

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

En una permutación válida, los signos de comparación deben alternarse.

A valid permutation must have comparison signs that alternate

Pista grande:

Cuenta las permutaciones de tipo sube-baja-sube-baja y usa la simetría para el patrón inverso.

Count the up-down-up-down permutations and use symmetry for the reverse pattern

Solución en video:

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Solución escrita:

Una permutación es válida exactamente cuando los cuatro signos de comparación entre términos consecutivos se alternan. Por tanto, los signos deben seguir el patrón sube-baja-sube-baja o baja-sube-baja-sube.

Para el patrón sube-baja-sube-baja, el elemento mayor, $5$ , debe ocupar la posición $2$ o la posición $4.$ Si ocupa la posición $2,$ sea $r$ el elemento en la posición $4.$ Sus dos vecinos deben ser números distintos menores que $r,$ y se pueden ordenar de $(r-1)(r-2)$ maneras. Al sumar sobre $r=1,2,3,4$ , obtenemos $0+0+2+6=8$ permutaciones. Por simetría, hay otras $8$ cuando $5$ ocupa la posición $4,$ para un total de $16$ con este patrón de comparaciones.

Reemplazar cada elemento $x$ por $6-x$ da una biyección con las permutaciones baja-sube-baja-sube, así que hay otras $16.$

El total de reordenamientos válidos es $16+16=32.$

Así, la respuesta correcta es D.

A permutation is valid exactly when the four comparison signs between consecutive terms alternate. Thus the signs must be either up-down-up-down or down-up-down-up.

For the up-down-up-down pattern, the largest entry $5$ must be in position $2$ or position $4.$ If it is in position $2,$ let the entry in position $4$ be $r.$ Its two neighbors must be distinct numbers less than $r,$ which can be ordered in $(r-1)(r-2)$ ways. Summing over $r=1,2,3,4$ gives $0+0+2+6=8$ permutations. By symmetry there are another $8$ when $5$ is in position $4,$ for a total of $16$ with this comparison pattern.

Replacing every entry $x$ by $6-x$ gives a bijection to the down-up-down-up permutations, so there are another $16.$

The total number of valid rearrangements is $16+16=32.$

Thus, D is the correct answer.

21.

Sea $ABCDEF$ un hexágono equiángulo. Las rectas $AB,$ $CD,$ y $EF$ determinan un triángulo de área $192\sqrt{3},$ y las rectas $BC,$ $DE,$ y $FA$ determinan un triángulo de área $324\sqrt{3}.$ El perímetro del hexágono $ABCDEF$ se puede expresar como $m +n\sqrt{p},$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros positivos y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $m + n + p$ ?

Let $ABCDEF$ be an equiangular hexagon. The lines $AB,$ $CD,$ and $EF$ determine a triangle with area $192\sqrt{3},$ and the lines $BC,$ $DE,$ and $FA$ determine a triangle with area $324\sqrt{3}.$ The perimeter of hexagon $ABCDEF$ can be expressed as $m +n\sqrt{p},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers and $p$ is not divisible by the square of any prime. What is $m + n + p?$

$47$

$52$

$55$

$58$

$63$

Respuesta: C

Conceptos:polígono equiángulo triángulo equilátero área del triángulo

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Las tres rectas de lados alternos forman triángulos equiláteros.

The three alternating side lines form equilateral triangles

Pista grande:

Convierte las dos áreas de triángulo dadas en longitudes de lado.

Convert the two given triangle areas into side lengths

Solución:

Sean las intersecciones de las rectas $AB,CD,EF$ los vértices del triángulo $PQR,$ y sean las intersecciones de $BC,DE,FA$ los vértices del triángulo $XYZ.$ Como el hexágono es equiángulo, todos estos triángulos exteriores son equiláteros.

Para un triángulo equilátero de lado $s,$ el área es $\frac{\sqrt3}{4}s^2.$ Por tanto,

$\begin{aligned} \frac{\sqrt3}{4}PQ^2 &=192\sqrt3, \\ \frac{\sqrt3}{4}YZ^2 &=324\sqrt3. \end{aligned}$

Así, $PQ=16\sqrt3$ y $YZ=36.$ Para justificar la relación con el perímetro, llamemos $a,b,c,d,e,f$ a las longitudes consecutivas de los lados del hexágono. Los dos triángulos de rectas alternadas tienen lados $b+c+d$ y $c+d+e,$ mientras que el cierre del hexágono da $a+f=c+d.$ Por ello, la suma de los lados de los dos triángulos es $\begin{aligned} &(b+c+d)\\ &\quad+(c+d+e)\\ &=b+e+2(c+d)\\ &=(a+b+c)+(d+e+f), \end{aligned}$ que es el perímetro del hexágono. Por tanto, el perímetro es

$PQ+YZ=16\sqrt3+36.$

Así, $m+n+p=36+16+3=55.$

Por tanto, C es la respuesta correcta.

Let the intersections of lines $AB,CD,EF$ form triangle $PQR,$ and let the intersections of lines $BC,DE,FA$ form triangle $XYZ.$ Because the hexagon is equiangular, all these outer triangles are equilateral.

For an equilateral triangle with side length $s,$ the area is $\frac{\sqrt3}{4}s^2.$ Hence

$\begin{aligned} \frac{\sqrt3}{4}PQ^2 &=192\sqrt3, \\ \frac{\sqrt3}{4}YZ^2 &=324\sqrt3. \end{aligned}$

So $PQ=16\sqrt3$ and $YZ=36.$ To justify the perimeter relation, write the consecutive hexagon side lengths as $a,b,c,d,e,f.$ The two alternating-line triangles have side lengths $b+c+d$ and $c+d+e,$ while closure of the hexagon gives $a+f=c+d.$ Hence their side-length sum is $\begin{aligned} &(b+c+d)\\ &\quad+(c+d+e)\\ &=b+e+2(c+d)\\ &=(a+b+c)+(d+e+f), \end{aligned}$ the hexagon’s perimeter. Therefore the perimeter is

$PQ+YZ=16\sqrt3+36.$

Thus $m+n+p=36+16+3=55.$

Thus, C is the correct answer.

22.

Los apuntes de álgebra de Hiram tienen $50$ páginas y están impresos en $25$ hojas de papel; la primera hoja contiene las páginas $1$ y $2,$ la segunda hoja contiene las páginas $3$ y $4,$ y así sucesivamente. Un día deja sus apuntes sobre la mesa antes de irse a comer, y su compañero de cuarto decide tomar prestadas algunas páginas de la mitad de los apuntes. Cuando Hiram regresa, descubre que su compañero se ha llevado un conjunto consecutivo de hojas de los apuntes y que el promedio (media) de los números de página de todas las hojas restantes es exactamente $19.$ ¿Cuántas hojas se tomaron prestadas?

Hiram’s algebra notes are $50$ pages long and are printed on $25$ sheets of paper; the first sheet contains pages $1$ and $2,$ the second sheet contains pages $3$ and $4,$ and so on. One day he leaves his notes on the table before leaving for lunch, and his roommate decides to borrow some pages from the middle of the notes. When Hiram comes back, he discovers that his roommate has taken a consecutive set of sheets from the notes and that the average (mean) of the page numbers on all remaining sheets is exactly $19.$ How many sheets were borrowed?

$10$

$13$

$15$

$17$

$20$

Respuesta: B

Conceptos:media Ecuación diofántica factorización

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Supón que las hojas prestadas van desde la hoja $a$ hasta la hoja $b$ .

Let the borrowed sheets run from sheet $a$ through sheet $b$

Pista grande:

Usa la suma total de las páginas y la media de las páginas restantes para factorizar una ecuación.

Use the total page sum and the mean of the remaining pages to factor an equation

Solución en video:

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Solución escrita:

Supongamos que las hojas prestadas son de la $a$ a la $b,$ y sea $s=b-a+1.$ Las páginas prestadas van de $2a-1$ a $2b,$ así que hay $2s$ páginas prestadas y su suma es $s(2a+2b-1).$

La suma de todos los números de página es $\frac{50\cdot51}{2}=1275.$ Si las páginas restantes tienen media $19,$ entonces $\begin{aligned} 1275&-s(2a+2b-1)\\ &=19(50-2s),\\ s(2a+2b-39)&=325. \end{aligned}$

Como $b-a+1$ es un divisor positivo de $325$ y es como máximo $25,$ sus únicas posibilidades son $1,5,13,25.$ Las dos primeras obligarían a que $b>25,$ y $25$ quitaría todas las hojas. Por tanto, la única posibilidad válida es

$\begin{aligned} 2a+2b-39 &=25, \\ b-a+1 &=13. \end{aligned}$

Así, $a+b=32$ y $b-a=12,$ por lo que $a=10$ y $b=22.$ Se tomaron prestadas $13$ hojas.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Suppose the borrowed sheets are sheets $a$ through $b,$ and let $s=b-a+1.$ The borrowed pages run from $2a-1$ through $2b,$ so there are $2s$ borrowed pages and their sum is $s(2a+2b-1).$

The total sum of all page numbers is $\frac{50\cdot51}{2}=1275.$ If the remaining pages have mean $19,$ then $\begin{aligned} 1275&-s(2a+2b-1)\\ &=19(50-2s),\\ s(2a+2b-39)&=325. \end{aligned}$

Because $b-a+1$ is a positive divisor of $325$ and is at most $25,$ its only possibilities are $1,5,13,25.$ The first two would force $b>25,$ and $25$ would remove every sheet. Thus the only valid possibility is

$\begin{aligned} 2a+2b-39 &=25, \\ b-a+1 &=13. \end{aligned}$

Thus $a+b=32$ and $b-a=12,$ so $a=10$ and $b=22.$ Therefore $13$ sheets were borrowed.

Thus, B is the correct answer.

23.

La rana Frieda empieza una serie de saltos en una cuadrícula de $3 \times 3$ casillas, moviéndose una casilla en cada salto y eligiendo al azar la dirección de cada salto: arriba, abajo, izquierda o derecha. No salta en diagonal. Cuando la dirección de un salto la sacaría de la cuadrícula, Frieda “da la vuelta” y salta al borde opuesto. Por ejemplo, si Frieda empieza en la casilla central y hace dos saltos “hacia arriba”, el primer salto la colocaría en la casilla central de la fila superior, y el segundo salto haría que Frieda saltara al borde opuesto, aterrizando en la casilla central de la fila inferior.

Supongamos que Frieda empieza en la casilla central, hace como máximo cuatro saltos al azar y deja de saltar si cae en una casilla de esquina. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue a una casilla de esquina en uno de los cuatro saltos?

Frieda the frog begins a sequence of hops on a $3 \times 3$ grid of squares, moving one square on each hop and choosing at random the direction of each hop—up, down, left, or right. She does not hop diagonally. When the direction of a hop would take Frieda off the grid, she “wraps around” and jumps to the opposite edge. For example if Frieda begins in the center square and makes two hops “up”, the first hop would place her in the top row middle square, and the second hop would cause Frieda to jump to the opposite edge, landing in the bottom row middle square.

Suppose Frieda starts from the center square, makes at most four hops at random, and stops hopping if she lands on a corner square. What is the probability that she reaches a corner square on one of the four hops?

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{5}{8}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{25}{32}$

$\dfrac{13}{16}$

Respuesta: D

Conceptos:camino aleatorio análisis por casos

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Clasifica las posiciones como centro, borde o esquina.

Classify positions as center, edge, or corner

Pista grande:

Cuenta las maneras de alcanzar por primera vez una esquina en el salto $2,$ $3$ o $4$ .

Count the ways to first hit a corner by hop $2,$ $3,$ or $4$

Solución:

Clasifica una casilla como $M$ para el centro, $E$ para una casilla de borde que no es esquina, y $C$ para una esquina. Frieda empieza en $M,$ y el primer salto siempre la lleva a una $E.$

Desde una casilla de borde, las probabilidades de moverse a $C,E,M$ son $\frac12,\frac14,\frac14,$ respectivamente. Desde $M,$ el siguiente salto siempre va a una $E.$

Ahora cuenta los posibles patrones de primer contacto dentro de cuatro saltos:

$EC:\quad 1\cdot\frac12=\frac12,$

$EEC:\quad 1\cdot\frac14\cdot\frac12=\frac18,$

$EEEC:\quad 1\cdot\frac14\cdot\frac14\cdot\frac12=\frac1{32},$

$EMEC:\quad 1\cdot\frac14\cdot1\cdot\frac12=\frac18.$

Al sumar se obtiene

$\frac12+\frac18+\frac1{32}+\frac18=\frac{25}{32}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Classify a square as $M$ for the center, $E$ for a non-corner edge square, and $C$ for a corner. Frieda starts at $M,$ and the first hop always takes her to an $E.$

From an edge square, the probabilities of moving to $C,E,M$ are $\frac12,\frac14,\frac14,$ respectively. From $M,$ the next hop always goes to an $E.$

Now count the possible first-hit patterns within four hops:

$EC:\quad 1\cdot\frac12=\frac12,$

$EEC:\quad 1\cdot\frac14\cdot\frac12=\frac18,$

$EEEC:\quad 1\cdot\frac14\cdot\frac14\cdot\frac12=\frac1{32},$

$EMEC:\quad 1\cdot\frac14\cdot1\cdot\frac12=\frac18.$

Adding gives

$\frac12+\frac18+\frac1{32}+\frac18=\frac{25}{32}.$

Thus, D is the correct answer.

24.

El interior de un cuadrilátero está limitado por las gráficas de $(x+ay)^2=4a^2$ y $(ax-y)^2=a^2,$ donde $a$ es un número real positivo. ¿Cuál es el área de esta región en términos de $a,$ válida para todo $a > 0$ ?

The interior of a quadrilateral is bounded by the graphs of $(x+ay)^2=4a^2$ and $(ax-y)^2=a^2,$ where $a$ is a positive real number. What is the area of this region in terms of $a,$ valid for all $a > 0?$

$\dfrac{8a^2}{(a+1)^2}$

$\dfrac{4a}{a+1}$

$\dfrac{8a}{a+1}$

$\dfrac{8a^2}{a^2+1}$

$\dfrac{8a}{a^2+1}$

Respuesta: D

Conceptos:rectas paralelas fórmula de la distancia rectángulo

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Cada ecuación al cuadrado representa un par de rectas paralelas.

Each squared equation represents a pair of parallel lines

Pista grande:

Los dos pares de rectas son perpendiculares, así que el área es el producto de las dos distancias entre rectas paralelas.

The two pairs of lines are perpendicular, so the area is the product of the two distances between parallel lines

Solución:

Observa que cada ecuación produce dos rectas paralelas.

$(x + ay)^2 = 4a^2$ produce las dos rectas $x + ay - 2a = 0$ y $x + ay + 2a = 0.$ Ambas rectas tienen pendiente $-\dfrac{1}{a}.$

De manera análoga, $(ax-y)^2 = a^2$ produce las rectas $ax - y - a = 0$ y $ax - y + a = 0.$ Estas rectas tienen pendiente $a.$

Cada recta de un par es perpendicular a cada recta del otro par, por lo que las cuatro rectas forman un rectángulo.

La distancia $d$ entre las rectas paralelas $\begin{cases} Ax+By+C_1=0 \\ Ax+By+C_2=0 \end{cases}$ es $d = \dfrac{\mid C_2 - C_1 \mid}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$

Al aplicar esta fórmula, la distancia entre el primer par de rectas es $\dfrac{4a}{\sqrt{a^2 + 1}}.$ De manera análoga, la distancia entre el segundo par es $\dfrac{2a}{\sqrt{a^2 + 1}}.$

Estas son las longitudes de los lados del rectángulo. Su producto da el área $\dfrac{8a^2}{a^2 + 1}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that each of the equations yields two parallel lines.

$(x + ay)^2 = 4a^2$ results in the two lines $x + ay - 2a = 0$ and $x + ay + 2a = 0.$ Both of these lines have a slope of $-\dfrac{1}{a}.$

Similarly, $(ax-y)^2 = a^2$ results in the lines $ax - y - a = 0$ and $ax - y + a = 0.$ These lines have slope $a.$

Note that each pair of lines is perpendicular to the other pair of lines. This shows that the equations form a rectangle.

Recall that the formula for the distance $d$ between two parallel lines $\begin{cases} Ax+By+C_1=0 \\ Ax+By+C_2=0 \end{cases}$ is $d = \dfrac{\mid C_2 - C_1 \mid}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$

Using this formula, we get that the distance between the first pair of lines is $\dfrac{4a}{\sqrt{a^2 + 1}}.$ Similarly, the distance between the second pair of lines is $\dfrac{2a}{\sqrt{a^2 + 1}}.$

These are the side lengths of the rectangle. Multiplying yields the area $\dfrac{8a^2}{a^2 + 1}.$

Thus, D is the correct answer.

25.

¿De cuántas maneras se pueden colocar $3$ fichas rojas indistinguibles, $3$ fichas azules indistinguibles y $3$ fichas verdes indistinguibles en las casillas de una cuadrícula de $3 \times 3$ de modo que no haya dos fichas del mismo color directamente adyacentes entre sí, ya sea vertical u horizontalmente?

How many ways are there to place $3$ indistinguishable red chips, $3$ indistinguishable blue chips, and $3$ indistinguishable green chips in the squares of a $3 \times 3$ grid so that no two chips of the same color are directly adjacent to each other, either vertically or horizontally?

$12$

$18$

$24$

$30$

$36$

Respuesta: E

Conceptos:arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Primero elige el color del centro y las dos esquinas que ocupa ese color.

First choose the color in the center and the two corners occupied by that color

Pista grande:

Una vez colocadas esas tres fichas, los otros dos colores quedan determinados salvo intercambio.

Once those three chips are placed, the other two colors are forced up to interchange

Solución:

Elige el color del centro de $3$ maneras. Sus otras dos fichas no pueden ocupar ninguna casilla central de un lado, porque esas casillas son adyacentes al centro. Por lo tanto, deben ocupar dos de las cuatro esquinas, lo que puede hacerse de $\binom42=6$ maneras.

Para cualquiera de los dos patrones posibles de esquinas —dos esquinas opuestas o dos esquinas de un mismo lado—, las condiciones de adyacencia determinan los dos colores restantes salvo el intercambio entre ellos. Por lo tanto, hay $2$ formas de completar la cuadrícula para cada elección del color central y de sus dos esquinas. El total es $3\binom42\cdot2=36.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Choose the center color in $3$ ways. Its other two chips cannot occupy any edge-middle square, because those squares are adjacent to the center. Thus they must occupy two of the four corners, which can be chosen in $\binom42=6$ ways.

For either possible corner pattern—two opposite corners or two corners on the same side—the adjacency conditions force the remaining two colors up to interchanging them. Hence there are $2$ completions for each choice of the center color and its two corners. The total is $3\binom42\cdot2=36.$

Thus, E is the correct answer.

Problemas del 2021 AMC 10A Spring

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña: