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Soluciones del 2021 AMC 10A Spring

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? (22−2)−(32−3)+(42−4)?(2^2-2)-(3^2-3)+(4^2-4)?
What is the value of (22−2)−(32−3)+(42−4)?(2^2-2)-(3^2-3)+(4^2-4)?
11
22
55
88
1212
Conceptos:orden de las operaciones
Nivel de dificultad: 450
Pista pequeña:
Evalúa cada expresión entre paréntesis antes de combinar los signos.
Evaluate each parenthesized expression before combining the signs
Pista grande:
Observa que cada término tiene la forma n2−nn^2-n.
Notice that each term has the form n2−nn^2-n
Solución:
(22−2)−(32−3)+(42−4)=2−6+12=8. \begin{aligned} (2^2 - 2) - &(3^2 - 3) + (4^2 - 4) \\ &= 2 - 6 + 12 \\ &= 8. \end{aligned}
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
(22−2)−(32−3)+(42−4)=2−6+12=8. \begin{aligned} (2^2 - 2) - &(3^2 - 3) + (4^2 - 4) \\ &= 2 - 6 + 12 \\ &= 8. \end{aligned}
Thus, D is the correct answer.

2.

La escuela secundaria de Portia tiene 33 veces más estudiantes que la escuela secundaria de Lara. Las dos escuelas tienen en total 26002600 estudiantes. ¿Cuántos estudiantes tiene la escuela secundaria de Portia?
Portia’s high school has 33 times as many students as Lara’s high school. The two high schools have a total of 26002600 students. How many students does Portia’s high school have?
600600
650650
19501950
20002000
20502050
Conceptos:razón y proporciónecuación lineal
Nivel de dificultad: 560
Pista pequeña:
Considera la matrícula de Lara como una sola parte.
Let Lara’s enrollment be one part
Pista grande:
Portia tiene tres de las cuatro partes iguales del total.
Portia has three of the four equal parts of the total
Solución:
Sea xx el número de estudiantes de la escuela de Lara. Entonces la escuela de Portia tiene 3x3x estudiantes.
Por lo tanto, 3x+x=2600x=650. \begin{aligned} 3x + x &= 2600 \\ x &= 650. \end{aligned} Entonces 3x=19503x = 1950.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
Let xx be the number of students in Lara’s high school. Then Portia’s high school has 3x3x students.
Therefore, 3x+x=2600x=650. \begin{aligned} 3x + x &= 2600 \\ x &= 650. \end{aligned} Then 3x=1950.3x = 1950.
Thus, C is the correct answer.

3.

La suma de dos números naturales es 17,402.17{,}402. Uno de los dos números es divisible entre 10.10. Si se borra la cifra de las unidades de ese número, se obtiene el otro número. ¿Cuál es la diferencia de estos dos números?
The sum of two natural numbers is 17,402.17{,}402. One of the two numbers is divisible by 10.10. If the units digit of that number is erased, the other number is obtained. What is the difference of these two numbers?
10,27210{,}272
11,70011{,}700
13,36213{,}362
14,23814{,}238
15,42615{,}426
Conceptos:valor posicionalecuación lineal
Nivel de dificultad: 900
Pista pequeña:
Si al eliminar el cero final se obtiene el otro número, entonces el número mayor es diez veces el menor.
If deleting the final zero gives the other number, the larger number is ten times the smaller one
Pista grande:
Usa la suma para hallar primero el número menor.
Use the sum to find the smaller number first
Solución en video:
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Solución escrita:
Sean xx e yy los dos números. Sin pérdida de generalidad, supongamos que xx es divisible entre 1010. Entonces la cifra de las unidades de xx es 00.
Borrar la cifra de las unidades equivale, en esencia, a dividir xx entre 1010. El enunciado también nos indica que x10=y\dfrac{x}{10} = y.
Por lo tanto, x10+x=17,40211x10=17,402x=15,820. \begin{aligned} \dfrac{x}{10} + x &= 17,402 \\ \dfrac{11x}{10} &= 17,402 \\ x &= 15,820. \end{aligned} Entonces la diferencia de los dos números es x−x10=14,238. x - \dfrac{x}{10} = 14,238.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Let xx and yy be the two numbers. WLOG, let xx be divisible by 10.10. Then the units digit of xx is 0.0.
If we erase the units digit, then we are essentially dividing xx by 10.10. The problem statement also gives us that x10=y.\dfrac{x}{10} = y.
Therefore, x10+x=17,40211x10=17,402x=15,820. \begin{aligned} \dfrac{x}{10} + x &= 17,402 \\ \dfrac{11x}{10} &= 17,402 \\ x &= 15,820. \end{aligned} Then x−x10=14,238. x - \dfrac{x}{10} = 14,238.
Thus, D is the correct answer.

4.

Un carrito rueda cuesta abajo por una colina, recorriendo 55 pulgadas en el primer segundo y acelerando de modo que, durante cada intervalo sucesivo de 11 segundo, recorre 77 pulgadas más que durante el intervalo de 11 segundo anterior. El carrito tarda 3030 segundos en llegar al pie de la colina. ¿Qué distancia, en pulgadas, recorre?
A cart rolls down a hill, traveling 55 inches the first second and accelerating so that during each successive 11-second time interval, it travels 77 inches more than during the previous 11-second interval. The cart takes 3030 seconds to reach the bottom of the hill. How far, in inches, does it travel?
215215
360360
29922992
31953195
32423242
Conceptos:sucesión aritméticasumatoria
Nivel de dificultad: 870
Pista pequeña:
Las distancias recorridas cada segundo forman una sucesión aritmética.
The distances traveled each second form an arithmetic sequence
Pista grande:
Halla el término 3030 y luego usa el promedio del primer y el último término.
Find the 3030th term, then use the average of the first and last terms
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Solución escrita:
La distancia recorrida cada segundo forma una sucesión aritmética: 5,5+7,5+2⋅7,… 5, 5 + 7, 5 + 2 \cdot 7, \ldots
La fórmula estándar para la suma de una sucesión aritmética es n⋅a1+an2. n\cdot\dfrac{a_1+a_n}{2}. Sabemos que el número de términos es 3030 y que el primer término es 55. El último término es 5+29⋅7=208.5 + 29 \cdot 7 = 208.
Al sustituir estos valores en la fórmula se obtiene 30⋅5+2082=15⋅213=3195. 30 \cdot \dfrac{5 + 208}{2} = 15 \cdot 213 = 3195.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
The distance travelled every second forms an arithmetic sequence: 5,5+7,5+2⋅7,… 5, 5 + 7, 5 + 2 \cdot 7, \ldots
The standard arithmetic-sequence sum formula is n⋅a1+an2. n\cdot\dfrac{a_1+a_n}{2}. We know the number of terms is 3030 and the first term is 5.5. The last term is 5+29⋅7=208.5 + 29 \cdot 7 = 208.
Plugging these values into the expression yields 30⋅5+2082=15⋅213=3195. 30 \cdot \dfrac{5 + 208}{2} = 15 \cdot 213 = 3195.
Thus, D is the correct answer.

5.

Las calificaciones de un examen de una clase con k>12k > 12 estudiantes tienen una media de 8.8. La media de un conjunto de 1212 de estas calificaciones es 14.14. ¿Cuál es la media de las calificaciones restantes en términos de kk?
The quiz scores of a class with k>12k > 12 students have a mean of 8.8. The mean of a collection of 1212 of these quiz scores is 14.14. What is the mean of the remaining quiz scores in terms of k?k?
14−8k−12\dfrac{14-8}{k-12}
8k−168k−12\dfrac{8k-168}{k-12}
1412−8k\dfrac{14}{12} - \dfrac{8}{k}
14(k−12)k2\dfrac{14(k-12)}{k^2}
14(k−12)8k\dfrac{14(k-12)}{8k}
Conceptos:mediamanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 900
Pista pequeña:
Convierte cada media en una puntuación total.
Convert each mean into a total score
Pista grande:
Del total de la clase, resta la suma conocida de las 1212 calificaciones elegidas.
Subtract the known total for the chosen 1212 scores from the class total
Solución en video:
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Solución escrita:
La suma de las calificaciones de toda la clase es 8k.8k. La suma de las calificaciones del conjunto de 1212 es 12⋅14=168.12 \cdot 14 = 168.
Esto significa que la suma de las calificaciones de quienes no están en el conjunto es 8k−168.8k - 168. Además, hay k−12k - 12 personas fuera del conjunto. Por lo tanto, la media es 8k−168k−12. \dfrac{8k - 168}{k - 12}.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
The sum of the scores of everyone in the class is 8k.8k. The sum of the scores in the collection of 1212 is 12⋅14=168.12 \cdot 14 = 168.
This means that the sum of the scores of everyone not in the collection is 8k−168.8k - 168. There are also k−12k - 12 people not in the collection. Therefore, the average is 8k−168k−12. \dfrac{8k - 168}{k - 12}.
Thus, B is the correct answer.

6.

Chantal y Jean comienzan a caminar desde el inicio de un sendero hacia una torre de vigilancia contra incendios. Jean lleva una mochila pesada y camina más despacio. Chantal empieza a caminar a 44 millas por hora. A mitad de camino hacia la torre, el sendero se vuelve muy empinado y Chantal reduce su velocidad a 22 millas por hora. Tras llegar a la torre, da media vuelta de inmediato y desciende la parte empinada del sendero a 33 millas por hora. Se encuentra con Jean en el punto medio. ¿Cuál fue la velocidad promedio de Jean, en millas por hora, hasta que se encuentran?
Chantal and Jean start hiking from a trailhead toward a fire tower. Jean is wearing a heavy backpack and walks slower. Chantal starts walking at 44 miles per hour. Halfway to the tower, the trail becomes really steep, and Chantal slows down to 22 miles per hour. After reaching the tower, she immediately turns around and descends the steep part of the trail at 33 miles per hour. She meets Jean at the halfway point. What was Jean’s average speed, in miles per hour, until they meet?
1213\dfrac{12}{13}
11
1312\dfrac{13}{12}
2413\dfrac{24}{13}
22
Conceptos:distancia, velocidad y tiempo
Nivel de dificultad: 1140
Pista pequeña:
Sea dd la mitad de la longitud del sendero.
Let half the trail length be dd
Pista grande:
Jean llega al punto medio exactamente en el mismo tiempo que Chantal emplea en sus tres tramos de caminata.
Jean reaches the halfway point in exactly the same time Chantal takes for her three hiking segments
Solución en video:
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Solución escrita:
Sea 2d2d la distancia total hasta la torre, donde d>0d > 0.
Entonces Chantal caminó durante d4+d2+d3=13d12 \dfrac{d}{4} + \dfrac{d}{2} + \dfrac{d}{3} = \dfrac{13d}{12} horas.
Si Jean recorrió dd millas en 13d12\dfrac{13d}{12} horas, entonces su velocidad fue d÷13d12=1213 d \div \dfrac{13d}{12} = \dfrac{12}{13} millas por hora.
Por lo tanto, A es la respuesta correcta.
Let 2d2d be the distance from the trailhead to the fire tower, where d>0.d > 0.
Then Chantal hiked for d4+d2+d3=13d12 \dfrac{d}{4} + \dfrac{d}{2} + \dfrac{d}{3} = \dfrac{13d}{12} hours.
If Jean travelled dd miles in 13d12\dfrac{13d}{12} hours, then his speed was d÷13d12=1213 d \div \dfrac{13d}{12} = \dfrac{12}{13} miles per hour.
Thus, A is the correct answer.

7.

Tom tiene una colección de 1313 serpientes, de las cuales 44 son moradas y 55 son felices. Él observa que
• todas sus serpientes felices saben sumar,
• ninguna de sus serpientes moradas sabe restar, y
• todas sus serpientes que no saben restar tampoco saben sumar.
¿Cuál de estas conclusiones se puede deducir acerca de las serpientes de Tom?
Tom has a collection of 1313 snakes, 44 of which are purple and 55 of which are happy. He observes that
• all of his happy snakes can add,
• none of his purple snakes can subtract, and
• all of his snakes that can’t subtract also can’t add.
Which of these conclusions can be drawn about Tom’s snakes?
Las serpientes moradas saben sumar.
Purple snakes can add.
Las serpientes moradas son felices.
Purple snakes are happy.
Las serpientes que saben sumar son moradas.
Snakes that can add are purple.
Las serpientes felices no son moradas.
Happy snakes are not purple.
Las serpientes felices no saben restar.
Happy snakes can’t subtract.
Conceptos:deducción lógica
Nivel de dificultad: 960
Pista pequeña:
Traduce cada afirmación en una implicación.
Translate each statement into an implication
Pista grande:
Combina “morada implica que no sabe restar” con “no sabe restar implica que no sabe sumar”.
Combine purple implies cannot subtract with cannot subtract implies cannot add
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Solución escrita:
Observa que la tercera condición garantiza que las serpientes moradas no saben sumar.
También sabemos que todas las serpientes felices saben sumar, lo que significa que las serpientes felices tampoco pueden ser moradas.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Note that the third condition ensures that purple snakes can’t add.
We also know that all happy snakes can add, which means that happy snakes can’t be purple as well.
Thus, D is the correct answer.

8.

Cuando un estudiante multiplicó el número 6666 por el decimal periódico 1‾.a‾ b‾ a‾ b‾…=1‾.a‾ b‾‾,\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{a} \ \underline{b}\ldots=\underline{1}.\overline{\underline{a} \ \underline{b}}, donde aa y bb son cifras, no se dio cuenta de la notación y simplemente multiplicó 6666 por 1‾.a‾ b‾\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b}. Más tarde descubrió que su resultado es 0.50.5 menor que el resultado correcto. ¿Cuál es el número de 22 cifras a‾ b‾\underline{a} \ \underline{b}?
When a student multiplied the number 6666 by the repeating decimal, 1‾.a‾ b‾ a‾ b‾…=1‾.a‾ b‾‾,\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{a} \ \underline{b}\ldots=\underline{1}.\overline{\underline{a} \ \underline{b}}, where aa and bb are digits, he did not notice the notation and just multiplied 6666 times 1‾.a‾ b‾.\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b}. Later he found that his answer is 0.50.5 less than the correct answer. What is the 22-digit integer a‾ b‾?\underline{a} \ \underline{b}?
1515
3030
4545
6060
7575
Conceptos:decimal periódicosucesión geométrica
Nivel de dificultad: 1370
Pista pequeña:
Compara 1.ab‾1.\overline{ab} con 1.ab1.ab.
Compare 1.ab‾1.\overline{ab} with 1.ab1.ab
Pista grande:
La cola periódica que aparece después de la posición de las centésimas explica el error.
The repeating tail after the hundredths place accounts for the error
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Solución escrita:
Sea N=10a+b,N=10a+b, el entero de dos cifras formado por los dígitos aa y b.b. Entonces 1.ab‾=1+N991.\overline{ab}=1+\frac{N}{99} mientras que el decimal finito que usó el estudiante es 1.ab=1+N100.1.ab=1+\frac{N}{100}.
El producto correcto excede al producto del estudiante en 0.5,0.5, de modo que 66(N99−N100)=N150=0.5. 66\left(\frac{N}{99}-\frac{N}{100}\right) =\frac{N}{150}=0.5. Por lo tanto, N=75.N=75.
Por lo tanto, E es la respuesta correcta.
Let N=10a+b,N=10a+b, the two-digit integer formed by the digits aa and b.b. Then 1.ab‾=1+N991.\overline{ab}=1+\frac{N}{99} while the terminating decimal the student used is 1.ab=1+N100.1.ab=1+\frac{N}{100}.
The correct product exceeds the student’s product by 0.5,0.5, so 66(N99−N100)=N150=0.5. 66\left(\frac{N}{99}-\frac{N}{100}\right) =\frac{N}{150}=0.5. Hence N=75.N=75.
Thus, E is the correct answer.

9.

¿Cuál es el menor valor posible de (xy−1)2+(x+y)2(xy-1)^2+(x+y)^2 para números reales xx e yy?
What is the least possible value of (xy−1)2+(x+y)2(xy-1)^2+(x+y)^2 for real numbers xx and y?y?
00
14\dfrac{1}{4}
12\dfrac{1}{2}
11
22
Conceptos:optimizaciónmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 770
Pista pequeña:
Desarrolla la expresión y busca cancelaciones.
Expand the expression and look for cancellation
Pista grande:
Tras desarrollarla, todos los términos salvo la constante son no negativos.
After expansion, every term except the constant is nonnegative
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Solución escrita:
Al desarrollar, obtenemos x2y2−2xy+1+x2+2xy+y2=x2y2+x2+y2+1. \begin{gathered} x^2y^2 - 2xy + 1 + x^2 + 2xy + y^2 \\ = x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1. \end{gathered} Observa que todo cuadrado debe ser no negativo. Por lo tanto, el valor mínimo se alcanza cuando todos los términos salvo el 11 son 00, lo que hace que la suma sea 11.
Esto se logra cuando x=y=0x = y = 0.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Expanding, we get x2y2−2xy+1+x2+2xy+y2=x2y2+x2+y2+1. \begin{gathered} x^2y^2 - 2xy + 1 + x^2 + 2xy + y^2 \\ = x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1. \end{gathered} Note that every square must be non-negative. Therefore, the minimum value is when all the terms except 11 are 0,0, making the sum 1.1.
This is attainable when x=y=0.x = y = 0.
Thus, D is the correct answer.

10.

¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a la siguiente? (2+3)(22+32)⋅(24+34)(28+38)⋅(216+316)(232+332)⋅(264+364)? \begin{aligned} &(2+3)(2^2+3^2)\\ &\quad\cdot(2^4+3^4)(2^8+3^8)\\ &\quad\cdot(2^{16}+3^{16})(2^{32}+3^{32})\\ &\quad\cdot(2^{64}+3^{64})? \end{aligned}
Which of the following is equivalent to (2+3)(22+32)⋅(24+34)(28+38)⋅(216+316)(232+332)⋅(264+364)? \begin{aligned} &(2+3)(2^2+3^2)\\ &\quad\cdot(2^4+3^4)(2^8+3^8)\\ &\quad\cdot(2^{16}+3^{16})(2^{32}+3^{32})\\ &\quad\cdot(2^{64}+3^{64})? \end{aligned}
3127+21273^{127} + 2^{127}
3127+2127+2⋅3633^{127} + 2^{127} + 2 \cdot 3^{63} +3⋅263 + 3 \cdot 2^{63}​
3127+2127+2⋅3633^{127} + 2^{127} + 2 \cdot 3^{63}+3⋅263 + 3 \cdot 2^{63}
3128−21283^{128} - 2^{128}
3128+21283^{128} + 2^{128}
51275^{127}
Conceptos:diferencia de cuadradostelescópica
Nivel de dificultad: 1070
Pista pequeña:
Multiplica por 3−2,3-2, que es igual a 11.
Multiply by 3−2,3-2, which is equal to 11
Pista grande:
Cada factor genera entonces la siguiente diferencia de cuadrados.
Each factor then creates the next difference of squares
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Solución escrita:
Multiplica el producto por 3−2=1.3-2=1. Al aplicar repetidamente la identidad de diferencia de cuadrados se obtiene (3−2)(3+2)=32−22,(32−22)(32+22)=34−24, \begin{aligned} (3-2)(3+2)&=3^2-2^2,\\ (3^2-2^2)(3^2+2^2)&=3^4-2^4, \end{aligned} y la misma cancelación continúa hasta el último factor. Por lo tanto, el producto es 3128−2128.3^{128}-2^{128}.
Así, C es la respuesta correcta.
Multiply the product by 3−2=1.3-2=1. Repeatedly applying the difference-of-squares identity gives (3−2)(3+2)=32−22,(32−22)(32+22)=34−24, \begin{aligned} (3-2)(3+2)&=3^2-2^2,\\ (3^2-2^2)(3^2+2^2)&=3^4-2^4, \end{aligned} and the same cancellation continues through the final factor. Therefore the product is 3128−2128.3^{128}-2^{128}.
Thus, C is the correct answer.

11.

¿Para cuál de los siguientes enteros bb el número en base bb dado por 2021b−221b2021_b - 221_b no es divisible entre 33?
For which of the following integers bb is the base-bb number 2021b−221b2021_b - 221_b not divisible by 3?3?
33
44
66
77
88
Conceptos:base numéricadivisibilidad
Nivel de dificultad: 1020
Pista pequeña:
Convierte 2021b−221b2021_b-221_b a base 1010.
Convert 2021b−221b2021_b-221_b to base 1010
Pista grande:
Comprueba cuándo 2b2(b−1)2b^2(b-1) es divisible entre 33.
Check when 2b2(b−1)2b^2(b-1) is divisible by 33
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Solución escrita:
Usando la definición de base, podemos expresar esta cantidad en base 1010: 2b3+2b+1−2b2−2b−1 2b^3 + 2b + 1 - 2b^2 - 2b - 1 =2b3−2b2=2b2(b−1).= 2b^3 - 2b^2 = 2b^2(b - 1).
Para que sea divisible entre 3,3, o bien bb o bien b−1b - 1 debe ser divisible entre 3.3.
La única opción de respuesta que no satisface ninguna de estas condiciones es 8.8.
Por lo tanto, E es la respuesta correcta.
We can express this expression in base 1010 using the definition of bases: 2b3+2b+1−2b2−2b−1 2b^3 + 2b + 1 - 2b^2 - 2b - 1 =2b3−2b2=2b2(b−1).= 2b^3 - 2b^2 = 2b^2(b - 1).
For this to be divisible by 3,3, either bb or b−1b - 1 must be divisible by 3.3.
The only answer choice that satisfies neither of these conditions is 8.8.
Thus, E is the correct answer.

12.

Dos conos circulares rectos con los vértices hacia abajo, como se muestra en la figura de abajo, contienen la misma cantidad de líquido. Los radios de las superficies superiores del líquido son 33 cm y 66 cm. En cada cono se deja caer una canica esférica de radio 11 cm, que se hunde hasta el fondo y queda completamente sumergida sin que se derrame líquido. ¿Cuál es la razón entre la subida del nivel del líquido en el cono estrecho y la subida del nivel del líquido en el cono ancho?
Two right circular cones with vertices facing down as shown in the figure below contain the same amount of liquid. The radii of the tops of the liquid surfaces are 33 cm and 66 cm. Into each cone is dropped a spherical marble of radius 11 cm, which sinks to the bottom and is completely submerged without spilling any liquid. What is the ratio of the rise of the liquid level in the narrow cone to the rise of the liquid level in the wide cone?
1:11:1
47:4347:43
2:12:1
40:1340:13
4:14:1
Conceptos:conosemejanzavolumen
Nivel de dificultad: 1660
Pista pequeña:
Los volúmenes iguales de líquido relacionan las dos alturas iniciales del líquido.
Equal liquid volumes relate the two initial liquid heights
Pista grande:
La canica añade el mismo volumen desplazado en cada cono, así que los volúmenes del cono por debajo de la superficie siguen siendo iguales al final.
The marble adds the same displaced volume in each cone, so the final cone-below-surface volumes are still equal
Solución en video:
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Solución escrita:
Sean h1h_1 y h2h_2 las alturas iniciales del líquido en el cono estrecho y en el ancho. Como los volúmenes de líquido son iguales,
13π(3)2h1=13π(6)2h2,\frac13\pi(3)^2h_1=\frac13\pi(6)^2h_2,
entonces h1=4h2.h_1=4h_2.
Después de dejar caer las canicas idénticas, cada cono debe contener el mismo volumen final por debajo de la superficie del líquido: el volumen original de líquido más el volumen de una canica. Si los nuevos radios de la superficie del líquido son 3x3x y 6y,6y, la semejanza da nuevas alturas h1xh_1x y h2y.h_2y. Así,
13π(3x)2h1x=13π(6y)2h2y.\frac13\pi(3x)^2h_1x=\frac13\pi(6y)^2h_2y.
Usando h1=4h2,h_1=4h_2, esto se simplifica a x3=y3,x^3=y^3, de modo que x=y.x=y. Por lo tanto, la razón de subida es
h1(x−1):h2(y−1)=h1:h2=4:1. \begin{aligned} h_1(x-1):h_2(y-1) &= h_1:h_2 \\ &= 4:1. \end{aligned}
Por lo tanto, E es la respuesta correcta.
Let the initial liquid heights in the narrow and wide cones be h1h_1 and h2.h_2. Since the liquid volumes are equal,
13π(3)2h1=13π(6)2h2,\frac13\pi(3)^2h_1=\frac13\pi(6)^2h_2,
so h1=4h2.h_1=4h_2.
After the identical marbles are dropped in, each cone must contain the same final volume below the liquid surface: the original liquid volume plus the volume of one marble. If the new liquid-surface radii are 3x3x and 6y,6y, similarity gives new heights h1xh_1x and h2y.h_2y. Thus
13π(3x)2h1x=13π(6y)2h2y.\frac13\pi(3x)^2h_1x=\frac13\pi(6y)^2h_2y.
Using h1=4h2,h_1=4h_2, this simplifies to x3=y3,x^3=y^3, so x=y.x=y. The rise ratio is therefore
h1(x−1):h2(y−1)=h1:h2=4:1. \begin{aligned} h_1(x-1):h_2(y-1) &= h_1:h_2 \\ &= 4:1. \end{aligned}
Thus, E is the correct answer.

13.

¿Cuál es el volumen del tetraedro ABCDABCD con longitudes de aristas AB=2,AB = 2, AC=3,AC = 3, AD=4,AD = 4, BC=13,BC = \sqrt{13}, BD=25,BD = 2\sqrt{5}, y CD=5CD = 5?
What is the volume of tetrahedron ABCDABCD with edge lengths AB=2,AB = 2, AC=3,AC = 3, AD=4,AD = 4, BC=13,BC = \sqrt{13}, BD=25,BD = 2\sqrt{5}, and CD=5?CD = 5?
33
232\sqrt{3}
44
333\sqrt{3}
66
Conceptos:volumenGeometría 3DTeorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 1370
Pista pequeña:
Prueba a colocar AA en el origen con AB,AC,ADAB,AC,AD a lo largo de ejes perpendiculares.
Try placing AA at the origin with AB,AC,ADAB,AC,AD along perpendicular axes
Pista grande:
Comprueba que las longitudes de las aristas opuestas dadas coinciden con este modelo de esquina rectangular.
Check that the given opposite edge lengths match this rectangular-corner model
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Solución escrita:
Coloca A=(0,0,0),A=(0,0,0), B=(2,0,0),B=(2,0,0), C=(0,3,0),C=(0,3,0), y D=(0,0,4).D=(0,0,4). Entonces
BC=22+32=13,BD=22+42=25,CD=32+42=5, \begin{aligned} BC &= \sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}, \\ BD &= \sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5, \\ CD &= \sqrt{3^2+4^2}=5, \end{aligned}
así que este modelo de coordenadas coincide con todas las longitudes de aristas dadas. El tetraedro es un tetraedro de esquina rectangular con longitudes de aristas perpendiculares 2,3,42,3,4 desde A,A, por lo que su volumen es
16(2)(3)(4)=4.\frac16(2)(3)(4)=4.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
Place A=(0,0,0),A=(0,0,0), B=(2,0,0),B=(2,0,0), C=(0,3,0),C=(0,3,0), and D=(0,0,4).D=(0,0,4). Then
BC=22+32=13,BD=22+42=25,CD=32+42=5, \begin{aligned} BC &= \sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}, \\ BD &= \sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5, \\ CD &= \sqrt{3^2+4^2}=5, \end{aligned}
so this coordinate model matches all the given edge lengths. The tetrahedron is a rectangular-corner tetrahedron with perpendicular edge lengths 2,3,42,3,4 from A,A, so its volume is
16(2)(3)(4)=4.\frac16(2)(3)(4)=4.
Thus, C is the correct answer.

14.

Todas las raíces del polinomio z6−10z5+Az4+Bz3+Cz2+Dz+16 \begin{aligned} &z^6-10z^5+Az^4+Bz^3\\ &\quad+Cz^2+Dz+16 \end{aligned} son enteros positivos, posiblemente repetidos. ¿Cuál es el valor de BB?
All the roots of the polynomial z6−10z5+Az4+Bz3+Cz2+Dz+16 \begin{aligned} &z^6-10z^5+Az^4+Bz^3\\ &\quad+Cz^2+Dz+16 \end{aligned} are positive integers, possibly repeated. What is the value of B?B?
−88-88
−80-80
−64-64
−41-41
−40-40
Conceptos:Fórmulas de Vietapolinomio
Nivel de dificultad: 1540
Pista pequeña:
Usa las fórmulas de Vieta para determinar la suma y el producto de las seis raíces enteras positivas.
Use Vieta to determine the sum and product of the six positive integer roots
Pista grande:
Halla los únicos seis enteros positivos con producto 1616 y suma 1010.
Find the only six positive integers with product 1616 and sum 1010
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Solución escrita:
Por las fórmulas de Vieta, las seis raíces tienen suma 1010 y producto 16.16. Como el producto es una potencia de 2,2, toda raíz entera positiva es una potencia de 2.2. Al distribuir los cuatro factores de 22 entre seis raíces, la menor suma posible se obtiene cuando cuatro raíces son 22 y dos raíces son 11; esa suma ya es 10.10. Por tanto, las raíces son 1,1,2,2,2,2.1,1,2,2,2,2.
El coeficiente BB es el negativo de la suma de todos los productos de tres raíces. Elegir cero, una o dos de las dos raíces iguales a 11 da B=−((43)23+2(42)22+(41)2)=−88. \begin{aligned} B&=-\left(\binom43 2^3+2\binom42 2^2\right.\\ &\qquad\left.+\binom41 2\right)\\ &=-88. \end{aligned}
Así, A es la respuesta correcta.
By Vieta’s formulas, the six roots have sum 1010 and product 16.16. Because the product is a power of 2,2, every positive integer root is a power of 2.2. Distributing the four factors of 22 among six roots gives the least possible sum when four roots are 22 and two roots are 11; that sum is already 10.10. Hence the roots are 1,1,2,2,2,2.1,1,2,2,2,2.
The coefficient BB is the negative of the sum of all products of three roots. Choosing zero, one, or two of the two roots equal to 11 gives B=−((43)23+2(42)22+(41)2)=−88. \begin{aligned} B&=-\left(\binom43 2^3+2\binom42 2^2\right.\\ &\qquad\left.+\binom41 2\right)\\ &=-88. \end{aligned}
Thus, A is the correct answer.

15.

Se deben seleccionar valores para A,A, B,B, C,C, y DD de {1,2,3,4,5,6}\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} sin repetición (es decir, no hay dos letras con el mismo valor). ¿De cuántas maneras se pueden hacer tales elecciones para que las dos curvas y=Ax2+By=Ax^2+B y y=Cx2+Dy=Cx^2+D se corten?
El orden en que se enumeran las curvas no importa; por ejemplo, las elecciones A=3,A=3, B=2,B=2, C=4,C=4, D=1D=1 se consideran iguales a las elecciones A=4,A=4, B=1, B=1, C=3,C=3, D=2.D=2.
Values for A,A, B,B, C,C, and DD are to be selected from {1,2,3,4,5,6}\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} without replacement (i.e., no two letters have the same value). How many ways are there to make such choices so that the two curves y=Ax2+By=Ax^2+B and y=Cx2+Dy=Cx^2+D intersect?
(The order in which the curves are listed does not matter; for example, the choices A=3,A=3,B=2,B=2,C=4,C=4, D=1D=1 is considered the same as the choices A=4,A=4,B=1, B=1, C=3,C=3, D=2.D=2.)
3030
6060
9090
180180
360360
Conceptos:parábolacombinaciones
Nivel de dificultad: 1540
Pista pequeña:
Las parábolas se cortan exactamente cuando el valor despejado de x2x^2 es no negativo.
The parabolas intersect exactly when the solved value of x2x^2 is nonnegative
Pista grande:
Las dos diferencias D−BD-B y A−CA-C deben tener el mismo signo.
The two differences D−BD-B and A−CA-C must have the same sign
Solución en video:
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Solución escrita:
Igualando las dos ecuaciones, obtenemos Ax2+B=Cx2+D Ax^2 + B = Cx^2 + D x2(A−C)=D−B x^2(A - C) = D - B x2=D−BA−C≥0 x^2 = \dfrac{D - B}{A - C} \geq 0 ya que los cuadrados son no negativos.
Esto significa que D−BD - B y A−CA - C deben tener ambos el mismo signo.
Si elegimos dos valores distintos para (A,C)(A, C) y (B,D),(B, D), hay 22 maneras de disponerlos de modo que el numerador y el denominador tengan el mismo signo.
Sin embargo, tenemos que dividir entre 22, ya que las dos curvas no se consideran distintas.
Por lo tanto, el número total de tuplas es 12(62)(42)⋅2=90. \dfrac{1}{2} \binom{6}{2} \binom{4}{2} \cdot 2 = 90.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
Setting the equations equal to each other, we get Ax2+B=Cx2+D Ax^2 + B = Cx^2 + D x2(A−C)=D−B x^2(A - C) = D - B x2=D−BA−C≥0 x^2 = \dfrac{D - B}{A - C} \geq 0 since squares are non-negative.
This means D−BD - B and A−CA - C must both have the same sign.
If we choose two distinct values for (A,C)(A, C) and (B,D),(B, D), there are 22 ways to arrange them such that the numerator and denominator both have the same sign.
We have to divide by 2,2, however, since the two curves are not considered distinct.
Therefore, the total number of tuples is 12(62)(42)⋅2=90. \dfrac{1}{2} \binom{6}{2} \binom{4}{2} \cdot 2 = 90.
Thus, C is the correct answer.

16.

En la siguiente lista de números, el entero nn aparece nn veces en la lista para 1≤n≤200.1\leq n\leq200. 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…,200,200,…,200 \begin{aligned} &1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\ldots,\\ &200,200,\ldots,200 \end{aligned} ¿Cuál es la mediana de los números de esta lista?
In the following list of numbers, the integer nn appears nn times in the list for 1≤n≤200.1\leq n\leq200. 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…,200,200,…,200 \begin{aligned} &1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\ldots,\\ &200,200,\ldots,200 \end{aligned} What is the median of the numbers in this list?
100.5100.5
134134
142142
150.5150.5
167167
Conceptos:mediana (datos)número triangular
Nivel de dificultad: 1420
Pista pequeña:
La lista tiene 1+2+⋯+2001+2+\cdots+200 elementos.
The list has 1+2+⋯+2001+2+\cdots+200 entries
Pista grande:
Localiza las dos posiciones centrales usando números triangulares.
Locate the two middle positions using triangular numbers
Solución:
La lista contiene 1+2+⋯+200=200⋅2012=20100 \begin{aligned} 1+2+\cdots+200&=\frac{200\cdot201}{2}\\ &=20100 \end{aligned} entradas, de modo que sus dos posiciones centrales son 1005010050 y 10051.10051.
Hay 141⋅1422=10011\frac{141\cdot142}{2}=10011 entradas hasta la última aparición de 141,141, y 142⋅1432=10153\frac{142\cdot143}{2}=10153 entradas hasta la última aparición de 142.142. Por tanto, ambas entradas centrales son 142,142, y la mediana es 142.142.
Así, C es la respuesta correcta.
The list contains 1+2+⋯+200=200⋅2012=20100 \begin{aligned} 1+2+\cdots+200&=\frac{200\cdot201}{2}\\ &=20100 \end{aligned} entries, so its two middle positions are 1005010050 and 10051.10051.
There are 141⋅1422=10011\frac{141\cdot142}{2}=10011 entries through the last 141,141, and 142⋅1432=10153\frac{142\cdot143}{2}=10153 entries through the last 142.142. Thus both middle entries are 142,142, so the median is 142.142.
Thus, C is the correct answer.

17.

El trapecio ABCDABCD cumple AB‾∥CD‾,\overline{AB}\parallel\overline{CD}, BC=CD=43,BC=CD=43, y AD‾⊥BD‾.\overline{AD}\perp\overline{BD}. Sea OO la intersección de las diagonales AC‾\overline{AC} y BD‾,\overline{BD}, y sea PP el punto medio de BD‾.\overline{BD}.
Dado que OP=11,OP=11, la longitud de ADAD se puede escribir en la forma mn,m\sqrt{n}, donde mm y nn son enteros positivos y nn no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale m+nm+n?
Trapezoid ABCDABCD has AB‾∥CD‾,\overline{AB}\parallel\overline{CD}, BC=CD=43,BC=CD=43, and AD‾⊥BD‾.\overline{AD}\perp\overline{BD}. Let OO be the intersection of the diagonals AC‾\overline{AC} and BD‾,\overline{BD}, and let PP be the midpoint of BD‾.\overline{BD}.
Given that OP=11,OP=11, the length of ADAD can be written in the form mn,m\sqrt{n}, where mm and nn are positive integers and nn is not divisible by the square of any prime. What is m+n?m+n?
6565
132132
157157
194194
215215
Conceptos:trapeciosemejanzaTeorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 1950
Pista pequeña:
Usa el triángulo isósceles para obtener un triángulo rectángulo que involucre el punto medio de BDBD.
Use the isosceles triangle to get a right triangle involving the midpoint of BDBD
Pista grande:
El punto de intersección OO divide las diagonales en la razón de las bases paralelas.
The intersection point OO splits the diagonals in the ratio of the parallel bases
Solución en video:
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Solución escrita:
Como BC=CD,BC=CD, la mediana desde CC hasta BDBD es perpendicular a BD.BD. Por lo tanto, △BPC\triangle BPC es un triángulo rectángulo. Sea ∠DBC=α.\angle DBC=\alpha. Como AB∥CD,AB\parallel CD, también tenemos ∠ABD=α,\angle ABD=\alpha, así que △BPC∼△BDA.\triangle BPC\sim\triangle BDA.
Como PP es el punto medio de BD,BD, tenemos BDBP=2.\frac{BD}{BP}=2. En la semejanza, BCBC corresponde a AB,AB, así que
ABBC=2,AB=2⋅43=86. \begin{aligned} \frac{AB}{BC} &=2, \\ AB &=2\cdot43=86. \end{aligned}
Además, △ABO∼△CDO,\triangle ABO\sim\triangle CDO, así que
BOOD=ABCD=2.\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{CD}=2.
Como OP=11OP=11 y PP es el punto medio de BD,BD, escribimos BP=PD=t.BP=PD=t. Entonces BO=t+11BO=t+11 y OD=t−11,OD=t-11, así que
t+11t−11=2.\frac{t+11}{t-11}=2.
Esto da t=33,t=33, de modo que BD=66.BD=66. Finalmente, △ABD\triangle ABD es rectángulo, así que
AD=AB2−BD2=862−662=4190. \begin{aligned} AD &= \sqrt{AB^2-BD^2} \\ &= \sqrt{86^2-66^2} \\ &= 4\sqrt{190}. \end{aligned}
Así, m+n=4+190=194.m+n=4+190=194.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Because BC=CD,BC=CD, the median from CC to BDBD is perpendicular to BD.BD. Thus △BPC\triangle BPC is a right triangle. Let ∠DBC=α.\angle DBC=\alpha. Since AB∥CD,AB\parallel CD, we also have ∠ABD=α,\angle ABD=\alpha, so △BPC∼△BDA.\triangle BPC\sim\triangle BDA.
Since PP is the midpoint of BD,BD, we have BDBP=2.\frac{BD}{BP}=2. In the similarity, BCBC corresponds to AB,AB, so
ABBC=2,AB=2⋅43=86. \begin{aligned} \frac{AB}{BC} &=2, \\ AB &=2\cdot43=86. \end{aligned}
Also, △ABO∼△CDO,\triangle ABO\sim\triangle CDO, so
BOOD=ABCD=2.\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{CD}=2.
Since OP=11OP=11 and PP is the midpoint of BD,BD, write BP=PD=t.BP=PD=t. Then BO=t+11BO=t+11 and OD=t−11,OD=t-11, so
t+11t−11=2.\frac{t+11}{t-11}=2.
This gives t=33,t=33, hence BD=66.BD=66. Finally, △ABD\triangle ABD is right, so
AD=AB2−BD2=862−662=4190. \begin{aligned} AD &= \sqrt{AB^2-BD^2} \\ &= \sqrt{86^2-66^2} \\ &= 4\sqrt{190}. \end{aligned}
Thus m+n=4+190=194.m+n=4+190=194.
Thus, D is the correct answer.

18.

Sea ff una función definida en el conjunto de los números racionales positivos con la propiedad de que f(a⋅b)=f(a)+f(b)f(a\cdot b)=f(a)+f(b) para todos los números racionales positivos aa y b.b. Supongamos que ff también cumple la propiedad de que f(p)=pf(p)=p para todo número primo p.p. ¿Para cuál de los siguientes números xx se cumple f(x)<0f(x) < 0?
Let ff be a function defined on the set of positive rational numbers with the property that f(a⋅b)=f(a)+f(b)f(a\cdot b)=f(a)+f(b) for all positive rational numbers aa and b.b. Suppose that ff also has the property that f(p)=pf(p)=p for every prime number p.p. For which of the following numbers xx is f(x)<0?f(x) < 0?
1732\dfrac{17}{32}
1116\dfrac{11}{16}
79\dfrac{7}{9}
76\dfrac{7}{6}
2511\dfrac{25}{11}
Conceptos:ecuación funcionalfactorización en primos
Nivel de dificultad: 1280
Pista pequeña:
Primero determina f(pe)f(p^e) y f(ab)f(\frac{a}{b}).
First determine f(pe)f(p^e) and f(ab)f(\frac{a}{b})
Pista grande:
Evalúa las opciones mediante la factorización en primos.
Evaluate the choices by prime factorization
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Solución escrita:
El uso repetido de la ecuación funcional da f(pe)=ef(p)=epf(p^e)=ef(p)=ep para todo primo pp y todo entero positivo e.e. Además, f(a)=f(ab)+f(b),f(a)=f\left(\frac ab\right)+f(b), de modo que f(ab)=f(a)−f(b).f(\frac{a}{b})=f(a)-f(b).
Al evaluar las opciones mediante la factorización en primos, f(1732)=17−5⋅2=7,f(1116)=11−4⋅2=3,f(79)=7−2⋅3=1,f(76)=7−2−3=2,f(2511)=2⋅5−11=−1. \begin{aligned} f(\frac{17}{32})&=17-5\cdot2=7,\\ f(\frac{11}{16})&=11-4\cdot2=3,\\ f(\frac{7}{9})&=7-2\cdot3=1,\\ f(\frac{7}{6})&=7-2-3=2,\\ f(\frac{25}{11})&=2\cdot5-11=-1. \end{aligned} Solo el último valor es negativo.
Por lo tanto, E es la respuesta correcta.
Repeated use of the functional equation gives f(pe)=ef(p)=epf(p^e)=ef(p)=ep for every prime pp and positive integer e.e. Also, f(a)=f(ab)+f(b),f(a)=f\left(\frac ab\right)+f(b), so f(ab)=f(a)−f(b).f(\frac{a}{b})=f(a)-f(b).
Evaluating the choices by prime factorization, f(1732)=17−5⋅2=7,f(1116)=11−4⋅2=3,f(79)=7−2⋅3=1,f(76)=7−2−3=2,f(2511)=2⋅5−11=−1. \begin{aligned} f(\frac{17}{32})&=17-5\cdot2=7,\\ f(\frac{11}{16})&=11-4\cdot2=3,\\ f(\frac{7}{9})&=7-2\cdot3=1,\\ f(\frac{7}{6})&=7-2-3=2,\\ f(\frac{25}{11})&=2\cdot5-11=-1. \end{aligned} Only the final value is negative.
Thus, E is the correct answer.

19.

El área de la región limitada por la gráfica de x2+y2=3∣x−y∣+3∣x+y∣x^2+y^2 = 3|x-y| + 3|x+y| es m+nπm+n\pi, donde mm y nn son enteros. ¿Cuánto vale m+nm + n?
The area of the region bounded by the graph of x2+y2=3∣x−y∣+3∣x+y∣x^2+y^2 = 3|x-y| + 3|x+y| is m+nπ,m+n\pi, where mm and nn are integers. What is m+n?m + n?
1818
2727
3636
4545
5454
Conceptos:valor absolutocírculodescomposición de áreas
Nivel de dificultad: 2150
Pista pequeña:
Separa la gráfica según los signos de x−yx-y y x+yx+y.
Split the graph by the signs of x−yx-y and x+yx+y
Pista grande:
Los cuatro casos dan arcos de semicírculo alrededor de un cuadrado central.
The four cases give semicircle arcs around a central square
Solución:
Considera los cuatro casos de signo para x−yx-y y x+y.x+y. En un caso, por ejemplo, ∣x−y∣=x−y|x-y|=x-y y ∣x+y∣=x+y,|x+y|=x+y, así que
x2+y2=6x⟹(x−3)2+y2=9. \begin{gathered} x^2+y^2=6x \\ \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^2+y^2=9. \end{gathered}
Los otros tres casos dan de manera similar circunferencias de radio 33 centradas en (0,3),(0,3), (−3,0),(-3,0), y (0,−3).(0,-3). Los arcos relevantes forman la frontera mostrada por estas cuatro piezas de circunferencia congruentes.
La región consta de un cuadrado central de lado 6,6, junto con cuatro semicírculos de radio 3.3. El cuadrado aporta un área de 36,36, y los cuatro semicírculos tienen el área de dos circunferencias completas de radio 33, es decir, 18π.18\pi.
Por lo tanto, el área es 36+18π,36+18\pi, de modo que m+n=36+18=54.m+n=36+18=54.
Por lo tanto, E es la respuesta correcta.
Consider the four sign cases for x−yx-y and x+y.x+y. In one case, for example, ∣x−y∣=x−y|x-y|=x-y and ∣x+y∣=x+y,|x+y|=x+y, so
x2+y2=6x⟹(x−3)2+y2=9. \begin{gathered} x^2+y^2=6x \\ \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^2+y^2=9. \end{gathered}
The other three cases similarly give circles of radius 33 centered at (0,3),(0,3), (−3,0),(-3,0), and (0,−3).(0,-3). The relevant arcs form the boundary shown by these four congruent circle pieces.
The region consists of a central square of side length 6,6, together with four semicircles of radius 3.3. The square contributes area 36,36, and the four semicircles have the area of two full radius-33 circles, namely 18π.18\pi.
Therefore the area is 36+18π,36+18\pi, so m+n=36+18=54.m+n=36+18=54.
Thus, E is the correct answer.

20.

¿De cuántas maneras se puede reordenar la sucesión 1,1, 2,2, 3,3, 4,4, 55 de modo que no haya tres términos consecutivos crecientes ni tres términos consecutivos decrecientes?
In how many ways can the sequence 1,1, 2,2, 3,3, 4,4, 55 be rearranged so that no three consecutive terms are increasing and no three consecutive terms are decreasing?
1010
1818
2424
3232
4444
Conceptos:arreglos con restriccionesbiyección
Nivel de dificultad: 1950
Pista pequeña:
En una permutación válida, los signos de comparación deben alternarse.
A valid permutation must have comparison signs that alternate
Pista grande:
Cuenta las permutaciones de tipo sube-baja-sube-baja y usa la simetría para el patrón inverso.
Count the up-down-up-down permutations and use symmetry for the reverse pattern
Solución en video:
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Solución escrita:
Una permutación es válida exactamente cuando los cuatro signos de comparación entre términos consecutivos se alternan. Por tanto, los signos deben seguir el patrón sube-baja-sube-baja o baja-sube-baja-sube.
Para el patrón sube-baja-sube-baja, el elemento mayor, 55, debe ocupar la posición 22 o la posición 4.4. Si ocupa la posición 2,2, sea rr el elemento en la posición 4.4. Sus dos vecinos deben ser números distintos menores que r,r, y se pueden ordenar de (r−1)(r−2)(r-1)(r-2) maneras. Al sumar sobre r=1,2,3,4r=1,2,3,4, obtenemos 0+0+2+6=80+0+2+6=8 permutaciones. Por simetría, hay otras 88 cuando 55 ocupa la posición 4,4, para un total de 1616 con este patrón de comparaciones.
Reemplazar cada elemento xx por 6−x6-x da una biyección con las permutaciones baja-sube-baja-sube, así que hay otras 16.16.
El total de reordenamientos válidos es 16+16=32.16+16=32.
Así, la respuesta correcta es D.
A permutation is valid exactly when the four comparison signs between consecutive terms alternate. Thus the signs must be either up-down-up-down or down-up-down-up.
For the up-down-up-down pattern, the largest entry 55 must be in position 22 or position 4.4. If it is in position 2,2, let the entry in position 44 be r.r. Its two neighbors must be distinct numbers less than r,r, which can be ordered in (r−1)(r−2)(r-1)(r-2) ways. Summing over r=1,2,3,4r=1,2,3,4 gives 0+0+2+6=80+0+2+6=8 permutations. By symmetry there are another 88 when 55 is in position 4,4, for a total of 1616 with this comparison pattern.
Replacing every entry xx by 6−x6-x gives a bijection to the down-up-down-up permutations, so there are another 16.16.
The total number of valid rearrangements is 16+16=32.16+16=32.
Thus, D is the correct answer.

21.

Sea ABCDEFABCDEF un hexágono equiángulo. Las rectas AB,AB, CD,CD, y EFEF determinan un triángulo de área 1923,192\sqrt{3}, y las rectas BC,BC, DE,DE, y FAFA determinan un triángulo de área 3243.324\sqrt{3}. El perímetro del hexágono ABCDEFABCDEF se puede expresar como m+np,m +n\sqrt{p}, donde m,m, n,n, y pp son enteros positivos y pp no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale m+n+pm + n + p?
Let ABCDEFABCDEF be an equiangular hexagon. The lines AB,AB, CD,CD, and EFEF determine a triangle with area 1923,192\sqrt{3}, and the lines BC,BC, DE,DE, and FAFA determine a triangle with area 3243.324\sqrt{3}. The perimeter of hexagon ABCDEFABCDEF can be expressed as m+np,m +n\sqrt{p}, where m,m, n,n, and pp are positive integers and pp is not divisible by the square of any prime. What is m+n+p?m + n + p?
4747
5252
5555
5858
6363
Conceptos:polígono equiángulotriángulo equiláteroárea del triángulo
Nivel de dificultad: 2150
Pista pequeña:
Las tres rectas de lados alternos forman triángulos equiláteros.
The three alternating side lines form equilateral triangles
Pista grande:
Convierte las dos áreas de triángulo dadas en longitudes de lado.
Convert the two given triangle areas into side lengths
Solución:
Sean las intersecciones de las rectas AB,CD,EFAB,CD,EF los vértices del triángulo PQR,PQR, y sean las intersecciones de BC,DE,FABC,DE,FA los vértices del triángulo XYZ.XYZ. Como el hexágono es equiángulo, todos estos triángulos exteriores son equiláteros.
Para un triángulo equilátero de lado s,s, el área es 34s2.\frac{\sqrt3}{4}s^2. Por tanto,
34PQ2=1923,34YZ2=3243. \begin{aligned} \frac{\sqrt3}{4}PQ^2 &=192\sqrt3, \\ \frac{\sqrt3}{4}YZ^2 &=324\sqrt3. \end{aligned}
Así, PQ=163PQ=16\sqrt3 y YZ=36.YZ=36. Para justificar la relación con el perímetro, llamemos a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f a las longitudes consecutivas de los lados del hexágono. Los dos triángulos de rectas alternadas tienen lados b+c+db+c+d y c+d+e,c+d+e, mientras que el cierre del hexágono da a+f=c+d.a+f=c+d. Por ello, la suma de los lados de los dos triángulos es (b+c+d)+(c+d+e)=b+e+2(c+d)=(a+b+c)+(d+e+f), \begin{aligned} &(b+c+d)\\ &\quad+(c+d+e)\\ &=b+e+2(c+d)\\ &=(a+b+c)+(d+e+f), \end{aligned} que es el perímetro del hexágono. Por tanto, el perímetro es
PQ+YZ=163+36.PQ+YZ=16\sqrt3+36.
Así, m+n+p=36+16+3=55.m+n+p=36+16+3=55.
Por tanto, C es la respuesta correcta.
Let the intersections of lines AB,CD,EFAB,CD,EF form triangle PQR,PQR, and let the intersections of lines BC,DE,FABC,DE,FA form triangle XYZ.XYZ. Because the hexagon is equiangular, all these outer triangles are equilateral.
For an equilateral triangle with side length s,s, the area is 34s2.\frac{\sqrt3}{4}s^2. Hence
34PQ2=1923,34YZ2=3243. \begin{aligned} \frac{\sqrt3}{4}PQ^2 &=192\sqrt3, \\ \frac{\sqrt3}{4}YZ^2 &=324\sqrt3. \end{aligned}
So PQ=163PQ=16\sqrt3 and YZ=36.YZ=36. To justify the perimeter relation, write the consecutive hexagon side lengths as a,b,c,d,e,f.a,b,c,d,e,f. The two alternating-line triangles have side lengths b+c+db+c+d and c+d+e,c+d+e, while closure of the hexagon gives a+f=c+d.a+f=c+d. Hence their side-length sum is (b+c+d)+(c+d+e)=b+e+2(c+d)=(a+b+c)+(d+e+f), \begin{aligned} &(b+c+d)\\ &\quad+(c+d+e)\\ &=b+e+2(c+d)\\ &=(a+b+c)+(d+e+f), \end{aligned} the hexagon’s perimeter. Therefore the perimeter is
PQ+YZ=163+36.PQ+YZ=16\sqrt3+36.
Thus m+n+p=36+16+3=55.m+n+p=36+16+3=55.
Thus, C is the correct answer.

22.

Los apuntes de álgebra de Hiram tienen 5050 páginas y están impresos en 2525 hojas de papel; la primera hoja contiene las páginas 11 y 2,2, la segunda hoja contiene las páginas 33 y 4,4, y así sucesivamente. Un día deja sus apuntes sobre la mesa antes de irse a comer, y su compañero de cuarto decide tomar prestadas algunas páginas de la mitad de los apuntes. Cuando Hiram regresa, descubre que su compañero se ha llevado un conjunto consecutivo de hojas de los apuntes y que el promedio (media) de los números de página de todas las hojas restantes es exactamente 19.19. ¿Cuántas hojas se tomaron prestadas?
Hiram’s algebra notes are 5050 pages long and are printed on 2525 sheets of paper; the first sheet contains pages 11 and 2,2, the second sheet contains pages 33 and 4,4, and so on. One day he leaves his notes on the table before leaving for lunch, and his roommate decides to borrow some pages from the middle of the notes. When Hiram comes back, he discovers that his roommate has taken a consecutive set of sheets from the notes and that the average (mean) of the page numbers on all remaining sheets is exactly 19.19. How many sheets were borrowed?
1010
1313
1515
1717
2020
Conceptos:mediaEcuación diofánticafactorización
Nivel de dificultad: 1820
Pista pequeña:
Supón que las hojas prestadas van desde la hoja aa hasta la hoja bb.
Let the borrowed sheets run from sheet aa through sheet bb
Pista grande:
Usa la suma total de las páginas y la media de las páginas restantes para factorizar una ecuación.
Use the total page sum and the mean of the remaining pages to factor an equation
Solución en video:
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Solución escrita:
Supongamos que las hojas prestadas son de la aa a la b,b, y sea s=b−a+1.s=b-a+1. Las páginas prestadas van de 2a−12a-1 a 2b,2b, así que hay 2s2s páginas prestadas y su suma es s(2a+2b−1).s(2a+2b-1).
La suma de todos los números de página es 50⋅512=1275.\frac{50\cdot51}{2}=1275. Si las páginas restantes tienen media 19,19, entonces 1275−s(2a+2b−1)=19(50−2s),s(2a+2b−39)=325. \begin{aligned} 1275&-s(2a+2b-1)\\ &=19(50-2s),\\ s(2a+2b-39)&=325. \end{aligned}
Como b−a+1b-a+1 es un divisor positivo de 325325 y es como máximo 25,25, sus únicas posibilidades son 1,5,13,25.1,5,13,25. Las dos primeras obligarían a que b>25,b>25, y 2525 quitaría todas las hojas. Por tanto, la única posibilidad válida es
2a+2b−39=25,b−a+1=13. \begin{aligned} 2a+2b-39 &=25, \\ b-a+1 &=13. \end{aligned}
Así, a+b=32a+b=32 y b−a=12,b-a=12, por lo que a=10a=10 y b=22.b=22. Se tomaron prestadas 1313 hojas.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
Suppose the borrowed sheets are sheets aa through b,b, and let s=b−a+1.s=b-a+1. The borrowed pages run from 2a−12a-1 through 2b,2b, so there are 2s2s borrowed pages and their sum is s(2a+2b−1).s(2a+2b-1).
The total sum of all page numbers is 50⋅512=1275.\frac{50\cdot51}{2}=1275. If the remaining pages have mean 19,19, then 1275−s(2a+2b−1)=19(50−2s),s(2a+2b−39)=325. \begin{aligned} 1275&-s(2a+2b-1)\\ &=19(50-2s),\\ s(2a+2b-39)&=325. \end{aligned}
Because b−a+1b-a+1 is a positive divisor of 325325 and is at most 25,25, its only possibilities are 1,5,13,25.1,5,13,25. The first two would force b>25,b>25, and 2525 would remove every sheet. Thus the only valid possibility is
2a+2b−39=25,b−a+1=13. \begin{aligned} 2a+2b-39 &=25, \\ b-a+1 &=13. \end{aligned}
Thus a+b=32a+b=32 and b−a=12,b-a=12, so a=10a=10 and b=22.b=22. Therefore 1313 sheets were borrowed.
Thus, B is the correct answer.

23.

La rana Frieda empieza una serie de saltos en una cuadrícula de 3×33 \times 3 casillas, moviéndose una casilla en cada salto y eligiendo al azar la dirección de cada salto: arriba, abajo, izquierda o derecha. No salta en diagonal. Cuando la dirección de un salto la sacaría de la cuadrícula, Frieda “da la vuelta” y salta al borde opuesto. Por ejemplo, si Frieda empieza en la casilla central y hace dos saltos “hacia arriba”, el primer salto la colocaría en la casilla central de la fila superior, y el segundo salto haría que Frieda saltara al borde opuesto, aterrizando en la casilla central de la fila inferior.
Supongamos que Frieda empieza en la casilla central, hace como máximo cuatro saltos al azar y deja de saltar si cae en una casilla de esquina. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue a una casilla de esquina en uno de los cuatro saltos?
Frieda the frog begins a sequence of hops on a 3×33 \times 3 grid of squares, moving one square on each hop and choosing at random the direction of each hop—up, down, left, or right. She does not hop diagonally. When the direction of a hop would take Frieda off the grid, she “wraps around” and jumps to the opposite edge. For example if Frieda begins in the center square and makes two hops “up”, the first hop would place her in the top row middle square, and the second hop would cause Frieda to jump to the opposite edge, landing in the bottom row middle square.
Suppose Frieda starts from the center square, makes at most four hops at random, and stops hopping if she lands on a corner square. What is the probability that she reaches a corner square on one of the four hops?
916\dfrac{9}{16}
58\dfrac{5}{8}
34\dfrac{3}{4}
2532\dfrac{25}{32}
1316\dfrac{13}{16}
Conceptos:camino aleatorioanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1720
Pista pequeña:
Clasifica las posiciones como centro, borde o esquina.
Classify positions as center, edge, or corner
Pista grande:
Cuenta las maneras de alcanzar por primera vez una esquina en el salto 2,2, 33 o 44.
Count the ways to first hit a corner by hop 2,2, 3,3, or 44
Solución:
Clasifica una casilla como MM para el centro, EE para una casilla de borde que no es esquina, y CC para una esquina. Frieda empieza en M,M, y el primer salto siempre la lleva a una E.E.
Desde una casilla de borde, las probabilidades de moverse a C,E,MC,E,M son 12,14,14,\frac12,\frac14,\frac14, respectivamente. Desde M,M, el siguiente salto siempre va a una E.E.
Ahora cuenta los posibles patrones de primer contacto dentro de cuatro saltos:
EC:1⋅12=12,EC:\quad 1\cdot\frac12=\frac12,
EEC:1⋅14⋅12=18,EEC:\quad 1\cdot\frac14\cdot\frac12=\frac18,
EEEC:1⋅14⋅14⋅12=132,EEEC:\quad 1\cdot\frac14\cdot\frac14\cdot\frac12=\frac1{32},
EMEC:1⋅14⋅1⋅12=18.EMEC:\quad 1\cdot\frac14\cdot1\cdot\frac12=\frac18.
Al sumar se obtiene
12+18+132+18=2532.\frac12+\frac18+\frac1{32}+\frac18=\frac{25}{32}.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Classify a square as MM for the center, EE for a non-corner edge square, and CC for a corner. Frieda starts at M,M, and the first hop always takes her to an E.E.
From an edge square, the probabilities of moving to C,E,MC,E,M are 12,14,14,\frac12,\frac14,\frac14, respectively. From M,M, the next hop always goes to an E.E.
Now count the possible first-hit patterns within four hops:
EC:1⋅12=12,EC:\quad 1\cdot\frac12=\frac12,
EEC:1⋅14⋅12=18,EEC:\quad 1\cdot\frac14\cdot\frac12=\frac18,
EEEC:1⋅14⋅14⋅12=132,EEEC:\quad 1\cdot\frac14\cdot\frac14\cdot\frac12=\frac1{32},
EMEC:1⋅14⋅1⋅12=18.EMEC:\quad 1\cdot\frac14\cdot1\cdot\frac12=\frac18.
Adding gives
12+18+132+18=2532.\frac12+\frac18+\frac1{32}+\frac18=\frac{25}{32}.
Thus, D is the correct answer.

24.

El interior de un cuadrilátero está limitado por las gráficas de (x+ay)2=4a2(x+ay)^2=4a^2 y (ax−y)2=a2,(ax-y)^2=a^2, donde aa es un número real positivo. ¿Cuál es el área de esta región en términos de a,a, válida para todo a>0a > 0?
The interior of a quadrilateral is bounded by the graphs of (x+ay)2=4a2(x+ay)^2=4a^2 and (ax−y)2=a2,(ax-y)^2=a^2, where aa is a positive real number. What is the area of this region in terms of a,a, valid for all a>0?a > 0?
8a2(a+1)2\dfrac{8a^2}{(a+1)^2}
4aa+1\dfrac{4a}{a+1}
8aa+1\dfrac{8a}{a+1}
8a2a2+1\dfrac{8a^2}{a^2+1}
8aa2+1\dfrac{8a}{a^2+1}
Conceptos:rectas paralelasfórmula de la distanciarectángulo
Nivel de dificultad: 1720
Pista pequeña:
Cada ecuación al cuadrado representa un par de rectas paralelas.
Each squared equation represents a pair of parallel lines
Pista grande:
Los dos pares de rectas son perpendiculares, así que el área es el producto de las dos distancias entre rectas paralelas.
The two pairs of lines are perpendicular, so the area is the product of the two distances between parallel lines
Solución:
Observa que cada ecuación produce dos rectas paralelas.
(x+ay)2=4a2 (x + ay)^2 = 4a^2 produce las dos rectas x+ay−2a=0 x + ay - 2a = 0 y x+ay+2a=0. x + ay + 2a = 0. Ambas rectas tienen pendiente −1a.-\dfrac{1}{a}.
De manera análoga, (ax−y)2=a2 (ax-y)^2 = a^2 produce las rectas ax−y−a=0 ax - y - a = 0 y ax−y+a=0. ax - y + a = 0. Estas rectas tienen pendiente a.a.
Cada recta de un par es perpendicular a cada recta del otro par, por lo que las cuatro rectas forman un rectángulo.
La distancia dd entre las rectas paralelas {Ax+By+C1=0Ax+By+C2=0 \begin{cases} Ax+By+C_1=0 \\ Ax+By+C_2=0 \end{cases} es d=∣C2−C1∣A2+B2. d = \dfrac{\mid C_2 - C_1 \mid}{\sqrt{A^2 + B^2}}.
Al aplicar esta fórmula, la distancia entre el primer par de rectas es 4aa2+1. \dfrac{4a}{\sqrt{a^2 + 1}}. De manera análoga, la distancia entre el segundo par es 2aa2+1. \dfrac{2a}{\sqrt{a^2 + 1}}.
Estas son las longitudes de los lados del rectángulo. Su producto da el área 8a2a2+1. \dfrac{8a^2}{a^2 + 1}.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Note that each of the equations yields two parallel lines.
(x+ay)2=4a2 (x + ay)^2 = 4a^2 results in the two lines x+ay−2a=0 x + ay - 2a = 0 and x+ay+2a=0. x + ay + 2a = 0. Both of these lines have a slope of −1a.-\dfrac{1}{a}.
Similarly, (ax−y)2=a2 (ax-y)^2 = a^2 results in the lines ax−y−a=0 ax - y - a = 0 and ax−y+a=0. ax - y + a = 0. These lines have slope a.a.
Note that each pair of lines is perpendicular to the other pair of lines. This shows that the equations form a rectangle.
Recall that the formula for the distance dd between two parallel lines {Ax+By+C1=0Ax+By+C2=0 \begin{cases} Ax+By+C_1=0 \\ Ax+By+C_2=0 \end{cases} is d=∣C2−C1∣A2+B2. d = \dfrac{\mid C_2 - C_1 \mid}{\sqrt{A^2 + B^2}}.
Using this formula, we get that the distance between the first pair of lines is 4aa2+1. \dfrac{4a}{\sqrt{a^2 + 1}}. Similarly, the distance between the second pair of lines is 2aa2+1. \dfrac{2a}{\sqrt{a^2 + 1}}.
These are the side lengths of the rectangle. Multiplying yields the area 8a2a2+1. \dfrac{8a^2}{a^2 + 1}.
Thus, D is the correct answer.

25.

¿De cuántas maneras se pueden colocar 33 fichas rojas indistinguibles, 33 fichas azules indistinguibles y 33 fichas verdes indistinguibles en las casillas de una cuadrícula de 3×33 \times 3 de modo que no haya dos fichas del mismo color directamente adyacentes entre sí, ya sea vertical u horizontalmente?
How many ways are there to place 33 indistinguishable red chips, 33 indistinguishable blue chips, and 33 indistinguishable green chips in the squares of a 3×33 \times 3 grid so that no two chips of the same color are directly adjacent to each other, either vertically or horizontally?
1212
1818
2424
3030
3636
Conceptos:arreglos con restriccionesanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1820
Pista pequeña:
Primero elige el color del centro y las dos esquinas que ocupa ese color.
First choose the color in the center and the two corners occupied by that color
Pista grande:
Una vez colocadas esas tres fichas, los otros dos colores quedan determinados salvo intercambio.
Once those three chips are placed, the other two colors are forced up to interchange
Solución:
Elige el color del centro de 33 maneras. Sus otras dos fichas no pueden ocupar ninguna casilla central de un lado, porque esas casillas son adyacentes al centro. Por lo tanto, deben ocupar dos de las cuatro esquinas, lo que puede hacerse de (42)=6\binom42=6 maneras.
Para cualquiera de los dos patrones posibles de esquinas —dos esquinas opuestas o dos esquinas de un mismo lado—, las condiciones de adyacencia determinan los dos colores restantes salvo el intercambio entre ellos. Por lo tanto, hay 22 formas de completar la cuadrícula para cada elección del color central y de sus dos esquinas. El total es 3(42)⋅2=36.3\binom42\cdot2=36.
Por lo tanto, E es la respuesta correcta.
Choose the center color in 33 ways. Its other two chips cannot occupy any edge-middle square, because those squares are adjacent to the center. Thus they must occupy two of the four corners, which can be chosen in (42)=6\binom42=6 ways.
For either possible corner pattern—two opposite corners or two corners on the same side—the adjacency conditions force the remaining two colors up to interchanging them. Hence there are 22 completions for each choice of the center color and its two corners. The total is 3(42)⋅2=36.3\binom42\cdot2=36.
Thus, E is the correct answer.