2007 AMC 10A Problema 20

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 20 del 2007 AMC 10A, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2007 AMC 10A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Nivel de dificultad: 1460

20.

Supón que el número $a$ satisface la ecuación $4 = a + a^{-1}.$ ¿Cuál es el valor de $a^4 + a^{-4}$ ?

Suppose that the number $a$ satisfies the equation $4 = a + a^{-1}.$ What is the value of $a^4 + a^{-4}?$

$164$

$172$

$192$

$194$

$212$

Al elevar al cuadrado $a + a^{-1} = 4$ se obtiene $a^2 + 2 + a^{-2} = 16,$ así que $a^2 + a^{-2} = 14.$

Al elevar al cuadrado de nuevo se obtiene $a^4 + 2 + a^{-4} = 196,$ así que $a^4 + a^{-4} = 194.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Squaring $a + a^{-1} = 4$ gives $a^2 + 2 + a^{-2} = 16,$ so $a^2 + a^{-2} = 14.$

Squaring again gives $a^4 + 2 + a^{-4} = 196,$ so $a^4 + a^{-4} = 194.$

Thus, the correct answer is D.