Soluciones del 2007 AMC 10A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Una entrada para un espectáculo cuesta $\$20$ a precio completo. Susan compra $4$ entradas usando un cupón que le da un $25\%$ de descuento. Pam compra $5$ entradas usando un cupón que le da un $30\%$ de descuento. ¿Cuántos dólares más paga Pam que Susan?

One ticket to a show costs $\$20$ at full price. Susan buys $4$ tickets using a coupon that gives her a $25\%$ discount. Pam buys $5$ tickets using a coupon that gives her a $30\%$ discount. How many more dollars does Pam pay than Susan?

$2$

$5$

$10$

$15$

$20$

Conceptos:porcentaje dinero

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Un descuento del $25\%$ significa pagar el $75\%$ del precio completo.

A $25\%$ discount means paying $75\%$ of the full price

Pista grande:

Calcula el total de cada persona y luego resta.

Compute each person’s total, then subtract

Solución:

Susan paga $4 \cdot 0.75 \cdot 20 = 60$ dólares.

Pam paga $5 \cdot 0.70 \cdot 20 = 70$ dólares.

La diferencia es $70 - 60 = 10$ dólares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Susan pays $4 \cdot 0.75 \cdot 20 = 60$ dollars.

Pam pays $5 \cdot 0.70 \cdot 20 = 70$ dollars.

The difference is $70 - 60 = 10$ dollars.

Thus, the correct answer is C.

2.

Se definen $a@b = ab - b^2$ y $a\#b = a + b - ab^2.$ ¿Cuánto vale $\dfrac{6@2}{6\#2}?$

Define $a@b = ab - b^2$ and $a\#b = a + b - ab^2.$ What is $\dfrac{6@2}{6\#2}?$

$-\dfrac{1}{2}$

$-\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:operación personalizada sustitución

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Sustituye $a = 6$ y $b = 2$ en cada definición.

Substitute $a = 6$ and $b = 2$ into each definition

Pista grande:

El numerador es $6 \cdot 2 - 2^2$ y el denominador es $6 + 2 - 6 \cdot 2^2$ .

The numerator is $6 \cdot 2 - 2^2$ and the denominator is $6 + 2 - 6 \cdot 2^2$

Solución:

El numerador es $6@2 = 6 \cdot 2 - 2^2 = 12 - 4 = 8.$

El denominador es $6\#2 = 6 + 2 - 6 \cdot 2^2$ $= 8 - 24$ $= -16.$

El cociente es $\dfrac{8}{-16} = -\dfrac{1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The numerator is $6@2 = 6 \cdot 2 - 2^2 = 12 - 4 = 8.$

The denominator is $6\#2 = 6 + 2 - 6 \cdot 2^2$ $= 8 - 24$ $= -16.$

The quotient is $\dfrac{8}{-16} = -\dfrac{1}{2}.$

Thus, the correct answer is A.

3.

Un acuario tiene una base rectangular que mide $100$ cm por $40$ cm y una altura de $50$ cm. Se llena con agua hasta una altura de $40$ cm. Se coloca en el acuario un ladrillo con base rectangular que mide $40$ cm por $20$ cm y una altura de $10$ cm. ¿Cuántos centímetros sube el agua?

An aquarium has a rectangular base that measures $100$ cm by $40$ cm and has a height of $50$ cm. It is filled with water to a height of $40$ cm. A brick with a rectangular base that measures $40$ cm by $20$ cm and a height of $10$ cm is placed in the aquarium. By how many centimeters does the water rise?

$0.5$

$1$

$1.5$

$2$

$2.5$

Conceptos:volumen prisma rectangular

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

El ladrillo sumergido empuja el agua hacia arriba en un volumen igual al suyo.

The submerged brick pushes the water up by its own volume

Pista grande:

La subida $h$ satisface $100 \cdot 40 \cdot h = 40 \cdot 20 \cdot 10$ .

The rise $h$ satisfies $100 \cdot 40 \cdot h = 40 \cdot 20 \cdot 10$

Solución:

El ladrillo tiene un volumen de $40 \cdot 20 \cdot 10 = 8000$ centímetros cúbicos.

Si el agua sube $h$ centímetros, el volumen añadido es $100 \cdot 40 \cdot h = 4000h$ centímetros cúbicos.

Igualando ambos se obtiene $4000h = 8000,$ así que $h = 2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The brick has volume $40 \cdot 20 \cdot 10 = 8000$ cubic centimeters.

If the water rises by $h$ centimeters, the added volume is $100 \cdot 40 \cdot h = 4000h$ cubic centimeters.

Setting these equal gives $4000h = 8000,$ so $h = 2.$

Thus, the correct answer is D.

4.

El mayor de dos enteros impares consecutivos es el triple del menor. ¿Cuál es su suma?

The larger of two consecutive odd integers is three times the smaller. What is their sum?

$4$

$8$

$12$

$16$

$20$

Conceptos:ecuación lineal

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Sea $x,$ el entero menor, de modo que el mayor es $x + 2$ .

Let the smaller integer be $x,$ so the larger is $x + 2$

Pista grande:

Resuelve $x + 2 = 3x$ .

Solve $x + 2 = 3x$

Solución:

Sea $x$ el entero menor. Entonces el mayor es $x + 2,$ y $x + 2 = 3x.$ Por lo tanto, $x = 1.$

Los dos enteros son $1$ y $3,$ y su suma es $4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the smaller integer be $x.$ Then the larger is $x + 2,$ and $x + 2 = 3x,$ so $x = 1.$

The two integers are $1$ and $3,$ and their sum is $4.$

Thus, the correct answer is A.

5.

Una tienda escolar vende $7$ lápices y $8$ cuadernos por $\$4.15.$ También vende $5$ lápices y $3$ cuadernos por $\$1.77.$ ¿Cuánto cuestan $16$ lápices y $10$ cuadernos?

A school store sells $7$ pencils and $8$ notebooks for $\$4.15.$ It also sells $5$ pencils and $3$ notebooks for $\$1.77.$ How much do $16$ pencils and $10$ notebooks cost?

$\$4.76$

$\$5.84$

$\$6.00$

$\$6.16$

$\$6.32$

Conceptos:sistema de ecuaciones dinero

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Trabaja en centavos: sea $p$ un lápiz y $n$ un cuaderno, lo que da $7p + 8n = 415$ y $5p + 3n = 177$ .

Work in cents: let $p$ be a pencil and $n$ a notebook, giving $7p + 8n = 415$ and $5p + 3n = 177$

Pista grande:

Resuelve para $p$ y $n,$ y luego evalúa $16p + 10n$ .

Solve for $p$ and $n,$ then evaluate $16p + 10n$

Solución:

Sean $p$ y $n$ los precios en centavos de un lápiz y un cuaderno. Entonces $7p + 8n = 415$ $5p + 3n = 177.$

Al resolver este sistema se obtiene $p = 9$ y $n = 44.$

Así que $16$ lápices y $10$ cuadernos cuestan $16(9) + 10(44) = 584$ centavos, es decir $\$5.84.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $p$ and $n$ be the prices in cents of a pencil and a notebook. Then $7p + 8n = 415$ $5p + 3n = 177.$

Solving this system gives $p = 9$ and $n = 44.$

So $16$ pencils and $10$ notebooks cost $16(9) + 10(44) = 584$ cents, or $\$5.84.$

Thus, the correct answer is B.

6.

En Euclid High School, el número de estudiantes que tomaron el AMC $10$ fue $60$ en $2002,$ $66$ en $2003,$ $70$ en $2004,$ $76$ en $2005,$ $78$ en $2006,$ y es $85$ en $2007.$ ¿Entre qué dos años consecutivos hubo el mayor aumento porcentual?

At Euclid High School, the number of students taking the AMC $10$ was $60$ in $2002,$ $66$ in $2003,$ $70$ in $2004,$ $76$ in $2005,$ $78$ in $2006,$ and is $85$ in $2007.$ Between what two consecutive years was there the largest percentage increase?

$2002$ y $2003$

$2002$ and $2003$

$2003$ y $2004$

$2003$ and $2004$

$2004$ y $2005$

$2004$ and $2005$

$2005$ y $2006$

$2005$ and $2006$

$2006$ y $2007$

$2006$ and $2007$

Conceptos:porcentaje fracción

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

El aumento porcentual es igual al aumento dividido entre el valor anterior.

Percentage increase equals the increase divided by the earlier value

Pista grande:

Compara los cinco aumentos fraccionarios mediante un valor de referencia común o productos cruzados.

Compare all five fractional increases using a common benchmark or cross-multiplication

Solución:

De $2002$ a $2003,$ el aumento es $\dfrac{6}{60} = \dfrac{1}{10} = 10\%.$

Los otros aumentos son $\dfrac{4}{66},$ $\dfrac{6}{70},$ $\dfrac{2}{76},$ y $\dfrac{7}{78},$ cada uno menor que $\dfrac{1}{10}.$

Así que el mayor aumento porcentual fue entre $2002$ y $2003.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

From $2002$ to $2003,$ the increase is $\dfrac{6}{60} = \dfrac{1}{10} = 10\%.$

The other increases are $\dfrac{4}{66},$ $\dfrac{6}{70},$ $\dfrac{2}{76},$ and $\dfrac{7}{78},$ each less than $\dfrac{1}{10}.$

So the largest percentage increase was between $2002$ and $2003.$

Thus, the correct answer is A.

7.

El año pasado, el señor John Q. Public recibió una herencia. Pagó $20\%$ en impuestos federales sobre la herencia, y pagó $10\%$ de lo que le quedó en impuestos estatales. Pagó un total de $\$10{,}500$ por ambos impuestos. ¿De cuántos dólares era la herencia?

Last year Mr. John Q. Public received an inheritance. He paid $20\%$ in federal taxes on the inheritance, and paid $10\%$ of what he had left in state taxes. He paid a total of $\$10{,}500$ for both taxes. How many dollars was the inheritance?

$30{,}000$

$32{,}500$

$35{,}000$

$37{,}500$

$40{,}000$

Conceptos:porcentaje ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Después del impuesto federal, queda el $80\%$ de la herencia.

After federal tax, $80\%$ of the inheritance remains

Pista grande:

El impuesto estatal es el $10\%$ de ese $80\%,$ así que el impuesto total es el $20\% + 8\%$ de la herencia.

The state tax is $10\%$ of that $80\%,$ so the total tax is $20\% + 8\%$ of the inheritance

Solución:

Después de los impuestos federales, el señor Public conserva el $80\%$ de su herencia.

Los impuestos estatales toman el $10\%$ de eso, que es el $8\%$ de la herencia.

El impuesto total es el $20\% + 8\% = 28\%$ de la herencia, así que la herencia es $\dfrac{10{,}500}{0.28} = 37{,}500.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

After federal taxes, Mr. Public keeps $80\%$ of his inheritance.

State taxes take $10\%$ of that, which is $8\%$ of the inheritance.

The total tax is $20\% + 8\% = 28\%$ of the inheritance, so the inheritance is $\dfrac{10{,}500}{0.28} = 37{,}500.$

Thus, the correct answer is D.

8.

Los triángulos $ABC$ y $ADC$ son isósceles con $AB = BC$ y $AD = DC.$ El punto $D$ está en el interior de $\triangle ABC,$ $\angle ABC = 40^\circ,$ y $\angle ADC = 140^\circ.$ ¿Cuál es la medida en grados de $\angle BAD$ ?

Triangles $ABC$ and $ADC$ are isosceles with $AB = BC$ and $AD = DC.$ Point $D$ is inside $\triangle ABC,$ $\angle ABC = 40^\circ,$ and $\angle ADC = 140^\circ.$ What is the degree measure of $\angle BAD?$

$20$

$30$

$40$

$50$

$60$

Conceptos:triángulo isósceles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

En un triángulo isósceles los dos ángulos de la base son iguales.

In an isosceles triangle the two base angles are equal

Pista grande:

Halla $\angle BAC$ y $\angle DAC,$ y luego resta.

Find $\angle BAC$ and $\angle DAC,$ then subtract

Solución:

Como $\triangle ABC$ es isósceles, $\angle BAC = \tfrac12(180^\circ - 40^\circ) = 70^\circ.$

Como $\triangle ADC$ es isósceles, $\angle DAC = \tfrac12(180^\circ - 140^\circ) = 20^\circ.$

Por tanto $\angle BAD = \angle BAC - \angle DAC$ $= 70^\circ - 20^\circ$ $= 50^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $\triangle ABC$ is isosceles, $\angle BAC = \tfrac12(180^\circ - 40^\circ) = 70^\circ.$

Since $\triangle ADC$ is isosceles, $\angle DAC = \tfrac12(180^\circ - 140^\circ) = 20^\circ.$

Therefore $\angle BAD = \angle BAC - \angle DAC$ $= 70^\circ - 20^\circ$ $= 50^\circ.$

Thus, the correct answer is D.

9.

Los números reales $a$ y $b$ satisfacen las ecuaciones $3^a = 81^{b+2}$ y $125^b = 5^{a-3}.$ ¿Cuánto vale $ab$ ?

Real numbers $a$ and $b$ satisfy the equations $3^a = 81^{b+2}$ and $125^b = 5^{a-3}.$ What is $ab?$

$-60$

$-17$

$9$

$12$

$60$

Conceptos:exponente sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Reescribe $81 = 3^4$ y $125 = 5^3$ para igualar las bases.

Rewrite $81 = 3^4$ and $125 = 5^3$ to match the bases

Pista grande:

Al igualar los exponentes se obtiene $a = 4(b + 2)$ y $3b = a - 3$ .

Equating exponents gives $a = 4(b + 2)$ and $3b = a - 3$

Solución:

Las ecuaciones se convierten en $3^a = 3^{4(b+2)}$ y $5^{3b} = 5^{a-3}.$

Así que $a = 4(b + 2)$ y $3b = a - 3.$

Al resolver se obtiene $a = -12$ y $b = -5,$ así que $ab = 60.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The equations become $3^a = 3^{4(b+2)}$ and $5^{3b} = 5^{a-3}.$

So $a = 4(b + 2)$ and $3b = a - 3.$

Solving gives $a = -12$ and $b = -5,$ so $ab = 60.$

Thus, the correct answer is E.

10.

La familia Dunbar está formada por una madre, un padre y algunos hijos. La edad promedio de los miembros de la familia es $20,$ el padre tiene $48$ años, y la edad promedio de la madre y los hijos es $16.$ ¿Cuántos hijos hay en la familia?

The Dunbar family consists of a mother, a father, and some children. The average age of the members of the family is $20,$ the father is $48$ years old, and the average age of the mother and children is $16.$ How many children are in the family?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:media ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Sea $N$ el número de hijos; la familia tiene $N + 2$ miembros.

Let $N$ be the number of children; the family has $N + 2$ members

Pista grande:

La edad total es $20(N + 2);$ al quitar al padre quedan $16(N + 1)$ .

The total age is $20(N + 2);$ removing the father leaves $16(N + 1)$

Solución:

Sea $N$ el número de hijos y $T$ la edad total de la familia.

Entonces $20 = \dfrac{T}{N + 2}$ y $16 = \dfrac{T - 48}{N + 1}.$

Esto da $20N + 40 = T$ y $16N + 64 = T,$ así que $20N + 40 = 16N + 64.$

Por tanto $4N = 24$ y $N = 6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $N$ be the number of children and $T$ the total age of the family.

Then $20 = \dfrac{T}{N + 2}$ and $16 = \dfrac{T - 48}{N + 1}.$

These give $20N + 40 = T$ and $16N + 64 = T,$ so $20N + 40 = 16N + 64.$

Hence $4N = 24$ and $N = 6.$

Thus, the correct answer is E.

11.

Los números del $1$ al $8$ se colocan en los vértices de un cubo de manera que la suma de los cuatro números en cada cara es la misma. ¿Cuál es esta suma común?

The numbers from $1$ to $8$ are placed at the vertices of a cube in such a manner that the sum of the four numbers on each face is the same. What is this common sum?

$14$

$16$

$18$

$20$

$24$

Conceptos:doble conteo geometría del cubo

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Cada vértice de un cubo pertenece exactamente a tres caras.

Each vertex of a cube lies on exactly three faces

Pista grande:

Sumar las seis sumas de las caras cuenta cada vértice $3$ veces: $3(1 + 2 + \cdots + 8)$ .

Adding all six face sums counts each vertex $3$ times: $3(1 + 2 + \cdots + 8)$

Solución:

Cada vértice pertenece exactamente a tres caras, así que sumar los números sobre las seis caras da $\begin{aligned} 3(1 + 2 + \cdots + 8) &= 3 \cdot 36 \\ &= 108. \end{aligned}$

Hay seis caras, así que la suma común es $108 \div 6 = 18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each vertex belongs to exactly three faces, so summing the numbers over all six faces gives $\begin{aligned} 3(1 + 2 + \cdots + 8) &= 3 \cdot 36 \\ &= 108. \end{aligned}$

There are six faces, so the common sum is $108 \div 6 = 18.$

Thus, the correct answer is C.

12.

Dos guías turísticos dirigen a seis turistas. Los guías deciden separarse. Cada turista debe elegir a uno de los guías, pero con la condición de que cada guía debe llevar al menos un turista. ¿Cuántas agrupaciones diferentes de guías y turistas son posibles?

Two tour guides are leading six tourists. The guides decide to split up. Each tourist must choose one of the guides, but with the stipulation that each guide must take at least one tourist. How many different groupings of guides and tourists are possible?

$56$

$58$

$60$

$62$

$64$

Conceptos:principio de multiplicación conteo complementario

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Cada uno de los seis turistas elige independientemente a uno de los dos guías.

Each of the six tourists independently picks one of the two guides

Pista grande:

Resta las dos disposiciones en que un guía termina sin turistas.

Subtract the two arrangements in which a guide ends up with no tourists

Solución:

Cada turista elige independientemente a uno de los dos guías, lo que da $2^6 = 64$ disposiciones.

Exactamente dos de estas dejan a un guía sin turistas, así que la respuesta es $64 - 2 = 62.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each tourist independently chooses one of the two guides, giving $2^6 = 64$ arrangements.

Exactly two of these leave a guide with no tourists, so the answer is $64 - 2 = 62.$

Thus, the correct answer is D.

13.

Yan está en algún lugar entre su casa y el estadio. Para llegar al estadio puede caminar directamente hacia el estadio, o bien puede caminar a casa y luego ir en bicicleta al estadio. Va en bicicleta $7$ veces más rápido de lo que camina, y ambas opciones requieren la misma cantidad de tiempo. ¿Cuál es la razón entre la distancia de Yan a su casa y su distancia al estadio?

Yan is somewhere between his home and the stadium. To get to the stadium he can walk directly to the stadium, or else he can walk home and then ride his bicycle to the stadium. He rides $7$ times as fast as he walks, and both choices require the same amount of time. What is the ratio of Yan’s distance from his home to his distance from the stadium?

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{4}{5}$

$\dfrac{5}{6}$

$\dfrac{6}{7}$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Sea $x$ su distancia a casa y $y$ su distancia al estadio, con velocidad al caminar $w$ .

Let $x$ be his distance from home and $y$ his distance from the stadium, with walking speed $w$

Pista grande:

Iguala los tiempos: $\dfrac{y}{w} = \dfrac{x}{w} + \dfrac{x + y}{7w}$ .

Set the times equal: $\dfrac{y}{w} = \dfrac{x}{w} + \dfrac{x + y}{7w}$

Solución:

Sean $x$ y $y$ las distancias de Yan a casa y al estadio, y sea $w$ su velocidad al caminar.

Caminar al estadio toma $\dfrac{y}{w}.$ Caminar a casa e ir en bicicleta toma $\dfrac{x}{w} + \dfrac{x + y}{7w}.$

Igualando esto da $7y = 8x + y,$ así que $8x = 6y$ y $\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $x$ and $y$ be Yan’s distances from home and from the stadium, and let $w$ be his walking speed.

Walking to the stadium takes $\dfrac{y}{w}.$ Walking home and biking takes $\dfrac{x}{w} + \dfrac{x + y}{7w}.$

Setting these equal gives $7y = 8x + y,$ so $8x = 6y$ and $\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{4}.$

Thus, the correct answer is B.

14.

Un triángulo con longitudes de lados en razón $3 : 4 : 5$ está inscrito en un círculo de radio $3.$ ¿Cuál es el área del triángulo?

A triangle with side lengths in the ratio $3 : 4 : 5$ is inscribed in a circle of radius $3.$ What is the area of the triangle?

$8.64$

$12$

$5\pi$

$17.28$

$18$

Conceptos:ángulo inscrito triángulo rectángulo área del triángulo

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Un triángulo $3 : 4 : 5$ es rectángulo, así que su lado más largo es un diámetro.

A $3 : 4 : 5$ triangle is right-angled, so its longest side is a diameter

Pista grande:

Con lados $3x, 4x, 5x,$ la hipotenusa $5x$ es igual al diámetro $6$ .

With sides $3x, 4x, 5x,$ the hypotenuse $5x$ equals the diameter $6$

Solución:

Sean los lados $3x, 4x, 5x.$ El triángulo es rectángulo, así que su hipotenusa es un diámetro.

Entonces $5x = 2 \cdot 3 = 6,$ lo que da $x = \tfrac65.$

El área es $\begin{aligned} \tfrac12 (3x)(4x) &= 6x^2 = 6 \cdot \tfrac{36}{25} \\ &= 8.64. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the sides be $3x, 4x, 5x.$ The triangle is right-angled, so its hypotenuse is a diameter.

Thus $5x = 2 \cdot 3 = 6,$ giving $x = \tfrac65.$

The area is $\begin{aligned} \tfrac12 (3x)(4x) &= 6x^2 = 6 \cdot \tfrac{36}{25} \\ &= 8.64. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is A.

15.

Cuatro círculos de radio $1$ son cada uno tangentes a dos lados de un cuadrado y tangentes externamente a un círculo de radio $2,$ como se muestra. ¿Cuál es el área del cuadrado?

Four circles of radius $1$ are each tangent to two sides of a square and externally tangent to a circle of radius $2,$ as shown. What is the area of the square?

$32$

$22 + 12\sqrt{2}$

$16 + 16\sqrt{3}$

$48$

$36 + 16\sqrt{2}$

Conceptos:circunferencias tangentes triángulo rectángulo especial cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Conecta el centro del círculo grande con los centros de dos círculos pequeños adyacentes.

Connect the center of the large circle to the centers of two adjacent small circles

Pista grande:

Ese triángulo es rectángulo isósceles con catetos $2 + 1 = 3,$ así que su hipotenusa es $3\sqrt2$ .

That triangle is isosceles right with legs $2 + 1 = 3,$ so its hypotenuse is $3\sqrt2$

Solución:

Considera el triángulo rectángulo isósceles que une el centro del círculo de radio $2$ con los centros de dos círculos pequeños adyacentes. Sus catetos tienen longitud $2 + 1 = 3,$ así que su hipotenusa es $3\sqrt2.$

El lado del cuadrado supera a esta hipotenusa en $2$ (un radio en cada extremo), así que $s = 2 + 3\sqrt2.$

El área es $\begin{aligned} (2 + 3\sqrt2)^2 &= 4 + 12\sqrt2 + 18 \\ &= 22 + 12\sqrt2. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Consider the isosceles right triangle joining the center of the radius- $2$ circle to the centers of two adjacent small circles. Its legs have length $2 + 1 = 3,$ so its hypotenuse is $3\sqrt2.$

The side of the square exceeds this hypotenuse by $2$ (one radius on each end), so $s = 2 + 3\sqrt2.$

The area is $\begin{aligned} (2 + 3\sqrt2)^2 &= 4 + 12\sqrt2 + 18 \\ &= 22 + 12\sqrt2. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

16.

Los enteros $a,$ $b,$ $c,$ y $d,$ no necesariamente distintos, se eligen independientemente y al azar de $0$ a $2007,$ inclusive. ¿Cuál es la probabilidad de que $ad - bc$ sea par?

Integers $a,$ $b,$ $c,$ and $d,$ not necessarily distinct, are chosen independently and at random from $0$ to $2007,$ inclusive. What is the probability that $ad - bc$ is even?

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{5}{8}$

Conceptos:paridad probabilidad básica eventos independientes

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

$ad - bc$ es par exactamente cuando $ad$ y $bc$ tienen la misma paridad.

$ad - bc$ is even exactly when $ad$ and $bc$ have the same parity

Pista grande:

Un producto es impar solo si ambos factores son impares, lo que ocurre con probabilidad $\tfrac14$ .

A product is odd only if both factors are odd, which happens with probability $\tfrac14$

Solución:

La mitad de los enteros de $0$ a $2007$ son impares, así que cada uno de $ad$ y $bc$ es impar con probabilidad $\tfrac12 \cdot \tfrac12 = \tfrac14$ y par con probabilidad $\tfrac34.$

La diferencia $ad - bc$ es par cuando ambos productos tienen la misma paridad: $\tfrac14 \cdot \tfrac14 + \tfrac34 \cdot \tfrac34 = \tfrac{1}{16} + \tfrac{9}{16} = \tfrac58.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Half the integers from $0$ to $2007$ are odd, so each of $ad$ and $bc$ is odd with probability $\tfrac12 \cdot \tfrac12 = \tfrac14$ and even with probability $\tfrac34.$

The difference $ad - bc$ is even when both products have the same parity: $\tfrac14 \cdot \tfrac14 + \tfrac34 \cdot \tfrac34 = \tfrac{1}{16} + \tfrac{9}{16} = \tfrac58.$

Thus, the correct answer is E.

17.

Supón que $m$ y $n$ son enteros positivos tales que $75m = n^3.$ ¿Cuál es el mínimo valor posible de $m + n$ ?

Suppose that $m$ and $n$ are positive integers such that $75m = n^3.$ What is the minimum possible value of $m + n?$

$15$

$30$

$50$

$60$

$5700$

Conceptos:potencia perfecta factorización en primos

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

En un cubo perfecto, el exponente de cada primo es múltiplo de $3$ .

In a perfect cube, every prime’s exponent is a multiple of $3$

Pista grande:

Como $75 = 3 \cdot 5^2,$ halla el menor $m$ que haga que todos los exponentes sean múltiplos de $3$ .

Since $75 = 3 \cdot 5^2,$ find the smallest $m$ making all exponents multiples of $3$

Solución:

Como $n^3 = 75m = 3 \cdot 5^2 \cdot m,$ el exponente de cada factor primo debe ser múltiplo de tres.

El menor $m$ así es $3^2 \cdot 5 = 45,$ lo que da $n^3 = 3^3 \cdot 5^3$ y $n = 15.$

Entonces $m + n = 45 + 15 = 60.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $n^3 = 75m = 3 \cdot 5^2 \cdot m,$ every prime factor must occur a multiple of three times.

The smallest such $m$ is $3^2 \cdot 5 = 45,$ giving $n^3 = 3^3 \cdot 5^3$ and $n = 15.$

Then $m + n = 45 + 15 = 60.$

Thus, the correct answer is D.

18.

Considera el polígono de $12$ lados $ABCDEFGHIJKL,$ como se muestra. Cada uno de sus lados tiene longitud $4,$ y cada dos lados consecutivos forman un ángulo recto. Supón que $\overline{AG}$ y $\overline{CH}$ se cortan en $M.$ ¿Cuál es el área del cuadrilátero $ABCM$ ?

Consider the $12$ -sided polygon $ABCDEFGHIJKL,$ as shown. Each of its sides has length $4,$ and each two consecutive sides form a right angle. Suppose that $\overline{AG}$ and $\overline{CH}$ meet at $M.$ What is the area of quadrilateral $ABCM?$

$\dfrac{44}{3}$

$16$

$\dfrac{88}{5}$

$20$

$\dfrac{62}{3}$

Conceptos:geometría analítica fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Coloca la cruz en coordenadas usando la longitud de lado $4$ .

Place the cross on coordinates using the side length $4$

Pista grande:

Halla $M$ como la intersección de las rectas $AG$ y $CH,$ y luego aplica la fórmula del zapatero a $ABCM$ .

Find $M$ as the intersection of lines $AG$ and $CH,$ then apply the shoelace formula to $ABCM$

Solución:

Coloca la figura en coordenadas con $A = (-2, 6),$ $B = (2, 6),$ $C = (2, 2),$ $G = (2, -6),$ y $H = (-2, -6).$

La recta $AG$ es $y = -3x,$ y la recta $CH$ es $y = 2x - 2.$

Su intersección es $M = \left(\tfrac25, -\tfrac65\right).$

Al aplicar la fórmula del zapatero a $A, B, C, M$ se obtiene el área $\begin{aligned} [ABCM] &=\dfrac12\left|{-8}-\dfrac{136}{5}\right|\\ &=\dfrac{88}{5}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Put the figure on coordinates with $A = (-2, 6),$ $B = (2, 6),$ $C = (2, 2),$ $G = (2, -6),$ and $H = (-2, -6).$

Line $AG$ is $y = -3x,$ and line $CH$ is $y = 2x - 2.$

Their intersection is $M = \left(\tfrac25, -\tfrac65\right).$

Applying the shoelace formula to $A, B, C, M$ gives $\begin{aligned} [ABCM] &=\dfrac12\left|{-8}-\dfrac{136}{5}\right|\\ &=\dfrac{88}{5}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

19.

Se pasa un pincel a lo largo de ambas diagonales de un cuadrado para producir el área pintada simétrica, como se muestra. La mitad del área del cuadrado está pintada. ¿Cuál es la razón entre la longitud del lado del cuadrado y el ancho del pincel?

A paint brush is swept along both diagonals of a square to produce the symmetric painted area, as shown. Half the area of the square is painted. What is the ratio of the side length of the square to the brush width?

$2\sqrt{2} + 1$

$3\sqrt{2}$

$2\sqrt{2} + 2$

$3\sqrt{2} + 1$

$3\sqrt{2} + 2$

Conceptos:descomposición de áreas triángulo rectángulo especial racionalización del denominador

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Las cuatro regiones esquineras sin pintar son triángulos rectángulos isósceles congruentes que suman la mitad del cuadrado.

The four unpainted corner regions are congruent isosceles right triangles totaling half the square

Pista grande:

Cada triángulo tiene cateto $x = \tfrac{s}{2},$ y $x + w$ es igual a la mitad de la diagonal $\tfrac{\sqrt2}{2}s$ .

Each triangle has leg $x = \tfrac{s}{2},$ and $x + w$ equals half the diagonal $\tfrac{\sqrt2}{2}s$

Solución:

Sea $s$ el lado, $w$ el ancho del pincel, y $x$ el cateto de un triángulo rectángulo isósceles sin pintar. Cada triángulo tiene área $\tfrac18 s^2,$ así que $\tfrac12 x^2 = \tfrac18 s^2$ y $x = \tfrac{s}{2}.$

El cateto más el ancho del pincel es la mitad de la diagonal: $x + w = \tfrac{\sqrt2}{2} s.$ Por lo tanto $w = \tfrac{\sqrt2}{2} s - \tfrac{s}{2}.$

Por lo tanto $\dfrac{s}{w} = \dfrac{2}{\sqrt2 - 1} = 2\sqrt2 + 2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $s$ be the side, $w$ the brush width, and $x$ the leg of one unpainted isosceles right triangle. Each triangle has area $\tfrac18 s^2,$ so $\tfrac12 x^2 = \tfrac18 s^2$ and $x = \tfrac{s}{2}.$

The leg plus the brush width is half the diagonal: $x + w = \tfrac{\sqrt2}{2} s.$ Thus $w = \tfrac{\sqrt2}{2} s - \tfrac{s}{2}.$

Therefore $\dfrac{s}{w} = \dfrac{2}{\sqrt2 - 1} = 2\sqrt2 + 2.$

Thus, the correct answer is C.

20.

Supón que el número $a$ satisface la ecuación $4 = a + a^{-1}.$ ¿Cuál es el valor de $a^4 + a^{-4}$ ?

Suppose that the number $a$ satisfies the equation $4 = a + a^{-1}.$ What is the value of $a^4 + a^{-4}?$

$164$

$172$

$192$

$194$

$212$

Conceptos:manipulación algebraica simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Elevar al cuadrado $a + a^{-1}$ da $a^2 + 2 + a^{-2}$ .

Squaring $a + a^{-1}$ gives $a^2 + 2 + a^{-2}$

Pista grande:

Eleva al cuadrado $a^2 + a^{-2}$ y resta el término central $2$ .

Square $a^2 + a^{-2}$ and subtract the middle term $2$

Solución:

Al elevar al cuadrado $a + a^{-1} = 4$ se obtiene $a^2 + 2 + a^{-2} = 16,$ así que $a^2 + a^{-2} = 14.$

Al elevar al cuadrado de nuevo se obtiene $a^4 + 2 + a^{-4} = 196,$ así que $a^4 + a^{-4} = 194.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Squaring $a + a^{-1} = 4$ gives $a^2 + 2 + a^{-2} = 16,$ so $a^2 + a^{-2} = 14.$

Squaring again gives $a^4 + 2 + a^{-4} = 196,$ so $a^4 + a^{-4} = 194.$

Thus, the correct answer is D.

21.

Una esfera está inscrita en un cubo que tiene un área de superficie de $24$ metros cuadrados. Luego se inscribe un segundo cubo dentro de la esfera. ¿Cuál es el área de superficie en metros cuadrados del cubo interior?

A sphere is inscribed in a cube that has a surface area of $24$ square meters. A second cube is then inscribed within the sphere. What is the surface area in square meters of the inner cube?

$3$

$6$

$8$

$9$

$12$

Conceptos:geometría del cubo esfera área de superficie

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

El diámetro de la esfera es igual al lado del cubo exterior y a la diagonal espacial del cubo interior.

The sphere’s diameter equals the outer cube’s side and the inner cube’s space diagonal

Pista grande:

Si el lado del cubo interior es $l,$ su diagonal espacial es $l\sqrt3 = 2$ .

For inner cube side $l,$ the space diagonal is $l\sqrt3 = 2$

Solución:

Cada cara del cubo exterior tiene área $24 \div 6 = 4,$ así que su lado es $2,$ y la esfera tiene diámetro $2.$

Este diámetro es la diagonal espacial del cubo interior, así que $l\sqrt3 = 2,$ lo que da $l^2 = \tfrac43.$

El área de superficie del cubo interior es $6 l^2 = 6 \cdot \tfrac43 = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each face of the outer cube has area $24 \div 6 = 4,$ so its side is $2,$ and the sphere has diameter $2.$

This diameter is the space diagonal of the inner cube, so $l\sqrt3 = 2,$ giving $l^2 = \tfrac43.$

The inner cube’s surface area is $6 l^2 = 6 \cdot \tfrac43 = 8.$

Thus, the correct answer is C.

22.

Una sucesión finita de enteros de tres dígitos tiene la propiedad de que los dígitos de las decenas y las unidades de cada término son, respectivamente, los dígitos de las centenas y las decenas del siguiente término, y los dígitos de las decenas y las unidades del último término son, respectivamente, los dígitos de las centenas y las decenas del primer término. Por ejemplo, una sucesión así podría comenzar con los términos $247,$ $475,$ y $756$ y terminar con el término $824.$ Sea $S$ la suma de todos los términos de la sucesión. ¿Cuál es el mayor número primo que siempre divide a $S$ ?

A finite sequence of three-digit integers has the property that the tens and units digits of each term are, respectively, the hundreds and tens digits of the next term, and the tens and units digits of the last term are, respectively, the hundreds and tens digits of the first term. For example, such a sequence might begin with terms $247,$ $475,$ and $756$ and end with the term $824.$ Let $S$ be the sum of all the terms in the sequence. What is the largest prime number that always divides $S?$

$3$

$7$

$13$

$37$

$43$

Conceptos:valor posicional divisibilidad

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Debido al desplazamiento cíclico, cada dígito pasa el mismo tiempo en las posiciones de las centenas, las decenas y las unidades.

Because of the cyclic shifting, each digit spends equal time in the hundreds, tens, and units places

Pista grande:

Así que $S = 111k$ para algún entero $k,$ y $111 = 3 \cdot 37$ .

So $S = 111k$ for some integer $k,$ and $111 = 3 \cdot 37$

Solución:

Cada dígito aparece como dígito de las centenas, de las decenas y de las unidades el mismo número de veces a lo largo de la sucesión.

Si $k$ es la suma de los dígitos de las unidades de todos los términos, entonces $S = 111k = 3 \cdot 37 \cdot k,$ así que $S$ siempre es divisible por $37.$

La sucesión $123,$ $231,$ $312$ da $S = 666 = 2 \cdot 3^2 \cdot 37,$ que no fuerza ningún factor primo mayor, así que $37$ es la respuesta.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each digit appears as a hundreds digit, a tens digit, and a units digit the same number of times across the sequence.

If $k$ is the sum of the units digits of all terms, then $S = 111k = 3 \cdot 37 \cdot k,$ so $S$ is always divisible by $37.$

The sequence $123,$ $231,$ $312$ gives $S = 666 = 2 \cdot 3^2 \cdot 37,$ which has no larger prime factor forced, so $37$ is the answer.

Thus, the correct answer is D.

23.

¿Cuántos pares ordenados $(m, n)$ de enteros positivos, con $m \gt n,$ tienen la propiedad de que sus cuadrados difieren en $96$ ?

How many ordered pairs $(m, n)$ of positive integers, with $m \gt n,$ have the property that their squares differ by $96?$

$3$

$4$

$6$

$9$

$12$

Conceptos:diferencia de cuadrados Ecuación diofántica paridad

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Escribe $m^2 - n^2 = (m + n)(m - n) = 96$ .

Write $m^2 - n^2 = (m + n)(m - n) = 96$

Pista grande:

$m + n$ y $m - n$ tienen la misma paridad, así que ambos deben ser pares.

$m + n$ and $m - n$ have the same parity, so both must be even

Solución:

Los factores $m + n$ y $m - n$ tienen la misma paridad. Como su producto es $96,$ no pueden ser ambos impares, así que ambos deben ser pares.

Los pares de factores pares son $(48, 2),$ $(24, 4),$ $(16, 6),$ y $(12, 8),$ que dan $(m, n) = (25, 23),$ $(14, 10),$ $(11, 5),$ y $(10, 2).$

Así que hay $4$ pares ordenados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The factors $m + n$ and $m - n$ have the same parity. Since their product is $96,$ they cannot both be odd, so both must be even.

The even factor pairs are $(48, 2),$ $(24, 4),$ $(16, 6),$ and $(12, 8),$ giving $(m, n) = (25, 23),$ $(14, 10),$ $(11, 5),$ and $(10, 2).$

So there are $4$ ordered pairs.

Thus, the correct answer is B.

24.

Los círculos centrados en $A$ y $B$ tienen cada uno radio $2,$ como se muestra. El punto $O$ es el punto medio de $\overline{AB},$ y $OA = 2\sqrt{2}.$ Los segmentos $OC$ y $OD$ son tangentes a los círculos centrados en $A$ y $B,$ respectivamente, y $\overline{EF}$ es una tangente común. ¿Cuál es el área de la región sombreada $ECODF$ ?

Circles centered at $A$ and $B$ each have radius $2,$ as shown. Point $O$ is the midpoint of $\overline{AB},$ and $OA = 2\sqrt{2}.$ Segments $OC$ and $OD$ are tangent to the circles centered at $A$ and $B,$ respectively, and $\overline{EF}$ is a common tangent. What is the area of the shaded region $ECODF?$

$\dfrac{8\sqrt{2}}{3}$

$8\sqrt{2} - 4 - \pi$

$4\sqrt{2}$

$4\sqrt{2} + \dfrac{\pi}{8}$

$8\sqrt{2} - 2 - \dfrac{\pi}{2}$

Conceptos:recta tangente sector circular descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

La región es el rectángulo $ABFE$ con dos triángulos rectángulos y dos sectores circulares eliminados.

The region is rectangle $ABFE$ with two right triangles and two circular sectors removed

Pista grande:

Cada triángulo formado por los puntos de tangencia es rectángulo isósceles con catetos $2;$ cada sector tiene un ángulo de $45^\circ$ y radio $2$ .

Each triangle formed by tangency is isosceles right with legs $2;$ each sector has a $45^\circ$ angle and radius $2$

Solución:

El rectángulo $ABFE$ tiene área $AE \cdot AB = 2 \cdot 4\sqrt2 = 8\sqrt2.$

Los triángulos rectángulos $ACO$ y $BDO$ tienen cada uno hipotenusa $2\sqrt2$ y un cateto de $2,$ así que cada uno es rectángulo isósceles con área $2.$

Los ángulos $CAE$ y $DBF$ son cada uno $45^\circ,$ así que los sectores $CAE$ y $DBF$ tienen cada uno área $\tfrac18 \pi \cdot 2^2 = \tfrac{\pi}{2}.$

El área sombreada es $\begin{gathered} 8\sqrt2 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot \tfrac{\pi}{2} \\ = 8\sqrt2 - 4 - \pi. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Rectangle $ABFE$ has area $AE \cdot AB = 2 \cdot 4\sqrt2 = 8\sqrt2.$

Right triangles $ACO$ and $BDO$ each have hypotenuse $2\sqrt2$ and a leg of $2,$ so each is isosceles right with area $2.$

Angles $CAE$ and $DBF$ are each $45^\circ,$ so sectors $CAE$ and $DBF$ each have area $\tfrac18 \pi \cdot 2^2 = \tfrac{\pi}{2}.$

The shaded area is $\begin{gathered} 8\sqrt2 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot \tfrac{\pi}{2} \\ = 8\sqrt2 - 4 - \pi. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

25.

Para cada entero positivo $n,$ sea $S(n)$ la suma de los dígitos de $n.$ ¿Para cuántos valores de $n$ se cumple $n + S(n) + S(S(n)) = 2007$ ?

For each positive integer $n,$ let $S(n)$ denote the sum of the digits of $n.$ For how many values of $n$ is $n + S(n) + S(S(n)) = 2007?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:dígitos aritmética modular acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Para $n \le 2007,$ $S(n) \le 28$ y $S(S(n)) \le 10,$ así que $n \ge 1969$ .

For $n \le 2007,$ $S(n) \le 28$ and $S(S(n)) \le 10,$ so $n \ge 1969$

Pista grande:

$n,$ $S(n),$ y $S(S(n))$ son todos congruentes módulo $9,$ y $2007$ es múltiplo de $9$ .

$n,$ $S(n),$ and $S(S(n))$ are all congruent modulo $9,$ and $2007$ is a multiple of $9$

Solución:

Si $n \le 2007,$ entonces $S(n) \le 28$ y $S(S(n)) \le 10,$ así que $n \ge 2007 - 28 - 10 = 1969.$

Como $n,$ $S(n),$ y $S(S(n))$ dejan todos el mismo resto módulo $9$ y $2007$ es múltiplo de $9,$ cada uno debe ser múltiplo de $3.$

Al revisar los múltiplos de $3$ entre $1969$ y $2007,$ la condición se cumple para $1977,$ $1980,$ $1983$ y $2001.$

Así que hay $4$ valores de $n.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If $n \le 2007,$ then $S(n) \le 28$ and $S(S(n)) \le 10,$ so $n \ge 2007 - 28 - 10 = 1969.$

Since $n,$ $S(n),$ and $S(S(n))$ all leave the same remainder modulo $9$ and $2007$ is a multiple of $9,$ each must be a multiple of $3.$

Checking the multiples of $3$ between $1969$ and $2007,$ the condition holds for $1977,$ $1980,$ $1983,$ and $2001.$

So there are $4$ values of $n.$

Thus, the correct answer is D.