Question

Se pasa un pincel a lo largo de ambas diagonales de un cuadrado para producir el área pintada simétrica, como se muestra. La mitad del área del cuadrado está pintada. ¿Cuál es la razón entre la longitud del lado del cuadrado y el ancho del pincel?

A paint brush is swept along both diagonals of a square to produce the symmetric painted area, as shown. Half the area of the square is painted. What is the ratio of the side length of the square to the brush width?

$2\sqrt{2} + 1$

$3\sqrt{2}$

$2\sqrt{2} + 2$

$3\sqrt{2} + 1$

$3\sqrt{2} + 2$

Solución:

Sea $s$ el lado, $w$ el ancho del pincel, y $x$ el cateto de un triángulo rectángulo isósceles sin pintar. Cada triángulo tiene área $\tfrac18 s^2,$ así que $\tfrac12 x^2 = \tfrac18 s^2$ y $x = \tfrac{s}{2}.$

El cateto más el ancho del pincel es la mitad de la diagonal: $x + w = \tfrac{\sqrt2}{2} s.$ Por lo tanto $w = \tfrac{\sqrt2}{2} s - \tfrac{s}{2}.$

Por lo tanto $\dfrac{s}{w} = \dfrac{2}{\sqrt2 - 1} = 2\sqrt2 + 2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $s$ be the side, $w$ the brush width, and $x$ the leg of one unpainted isosceles right triangle. Each triangle has area $\tfrac18 s^2,$ so $\tfrac12 x^2 = \tfrac18 s^2$ and $x = \tfrac{s}{2}.$

The leg plus the brush width is half the diagonal: $x + w = \tfrac{\sqrt2}{2} s.$ Thus $w = \tfrac{\sqrt2}{2} s - \tfrac{s}{2}.$

Therefore $\dfrac{s}{w} = \dfrac{2}{\sqrt2 - 1} = 2\sqrt2 + 2.$

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 10A Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años