Question

Supongamos que $\{a_n\}$ es una sucesión aritmética con $a_1 + a_2 + \cdots + a_{100} = 100$ y $a_{101} + a_{102} + \cdots + a_{200} = 200.$ ¿Cuál es el valor de $a_2 - a_1$ ?

Suppose that $\{a_n\}$ is an arithmetic sequence with $a_1 + a_2 + \cdots + a_{100} = 100$ and $a_{101} + a_{102} + \cdots + a_{200} = 200.$ What is the value of $a_2 - a_1?$

$0.0001$

$0.001$

$0.01$

$0.1$

$1$

Solución:

Sea $d = a_2 - a_1.$ Entonces $a_{k+100} = a_k + 100d,$ así que la suma del segundo bloque es la del primero más $100\cdot 100 d:$ $\begin{aligned} &a_{101} + \cdots + a_{200} \\ &= (a_1 + \cdots + a_{100}) \\ &\quad {}+ 10000d. \end{aligned}$

Por lo tanto $200 = 100 + 10000d,$ lo que da $d = \dfrac{100}{10000} = 0.01.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $d = a_2 - a_1.$ Then $a_{k+100} = a_k + 100d,$ so the second block sum is the first plus $100\cdot 100 d:$ $\begin{aligned} &a_{101} + \cdots + a_{200} \\ &= (a_1 + \cdots + a_{100}) \\ &\quad {}+ 10000d. \end{aligned}$

Therefore $200 = 100 + 10000d,$ giving $d = \dfrac{100}{10000} = 0.01.$

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 10B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años