Question

En la siguiente tabla, cada signo de interrogación debe reemplazarse por "Posible" o "No posible" para indicar si una recta no vertical con la pendiente dada puede contener el número dado de puntos reticulares (puntos cuyas dos coordenadas son enteras). ¿Cuántas de las $12$ casillas serán "Posible"?

In the following table, each question mark is to be replaced by "Possible" or "Not Possible" to indicate whether a nonvertical line with the given slope can contain the given number of lattice points (points both of whose coordinates are integers). How many of the $12$ entries will be "Possible"?

$4$

$5$

$6$

$7$

$9$

Solución:

Dos puntos reticulares cualesquiera dan una pendiente racional. Así que una recta con pendiente irracional contiene a lo sumo un punto reticular: puede tener $0$ (digamos $y = \sqrt2\,x + \tfrac12$ ) o exactamente $1$ (digamos $y = \sqrt2\,x$ ), nunca dos. Una recta con pendiente racional (incluido el cero) que pasa por un punto reticular $(x_0, y_0)$ también pasa por $(x_0 + q, y_0 + p)$ para su pendiente reducida $\tfrac{p}{q},$ así que toca infinitos; tal recta tiene o bien $0$ puntos reticulares (desplázala con una ordenada al origen irracional) o más de dos, nunca exactamente uno o dos. Así que cada fila da exactamente dos casillas "Posible". Para pendiente racional cero y no cero esas son las columnas "cero" y "más de dos"; para pendiente irracional, las columnas "cero" y "exactamente uno". Eso es $6$ en total. Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Any two lattice points give a rational slope. So a line with irrational slope holds at most one lattice point: it can have $0$ (say $y = \sqrt2\,x + \tfrac12$ ) or exactly $1$ (say $y = \sqrt2\,x$ ), never two. A line with rational slope (zero included) through a lattice point $(x_0, y_0)$ also passes through $(x_0 + q, y_0 + p)$ for its reduced slope $\tfrac{p}{q},$ so it hits infinitely many; such a line has either $0$ lattice points (shift it by an irrational intercept) or more than two, never exactly one or two. So each row gives exactly two "Possible" entries. For zero and nonzero rational slope those are the "zero" and "more than two" columns; for irrational slope, the "zero" and "exactly one" columns. That's $6$ in all. Thus, C is the correct answer.

2024 AMC 10B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años