Question

Tres cuadrados de una pulgada se colocan con sus bases sobre una recta. El cuadrado central se levanta y se gira $45^\circ,$ como se muestra. Luego se centra y se baja a su ubicación original hasta que toca los dos cuadrados adyacentes. ¿A cuántas pulgadas está el punto $B$ de la recta sobre la que se colocaron las bases de los cuadrados originales?

Three one-inch squares are placed with their bases on a line. The center square is lifted out and rotated $45^\circ,$ as shown. Then it is centered and lowered into its original location until it touches both of the adjoining squares. How many inches is the point $B$ from the line on which the bases of the original squares were placed?

$1$

$\sqrt{2}$

$\dfrac{3}{2}$

$\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}$

$2$

Solución:

Al bajarlo, los dos lados inferiores del cuadrado girado se apoyan en las esquinas superiores interiores de los cuadrados adyacentes, que están a altura $1.$ Analizando la geometría, el vértice inferior del cuadrado se asienta a altura $\frac{1}{2}.$ El punto $B$ es el vértice opuesto, más alto por una diagonal vertical completa de longitud $\sqrt{2}$ , así que su altura es $\frac{1}{2} + \sqrt{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

When lowered, the rotated square's two lower edges rest on the inner top corners of the adjoining squares, which are at height $1.$ Working out the geometry, the square's bottom vertex settles at height $\frac{1}{2}.$ The point $B$ is the opposite vertex, a full vertical diagonal of length $\sqrt{2}$ higher, so its height is $\frac{1}{2} + \sqrt{2}.$

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 10A Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años