Question

En el rectángulo $ABCD$ , $AB=6$ , $AD=30$ , y $G$ es el punto medio de $\overline{AD}$ . El segmento $AB$ se extiende 2 unidades más allá de $B$ hasta el punto $E$ , y $F$ es la intersección de $\overline{ED}$ y $\overline{BC}$ . ¿Cuál es el área del cuadrilátero $BFDG$ ?

In rectangle $ABCD,$ $AB=6,$ $AD=30,$ and $G$ is the midpoint of $\overline{AD}.$ Segment $AB$ is extended 2 units beyond $B$ to point $E,$ and $F$ is the intersection of $\overline{ED}$ and $\overline{BC}.$ What is the area of quadrilateral $BFDG?$

$\dfrac{133}{2}$

$67$

$\dfrac{135}{2}$

$68$

$\dfrac{137}{2}$

Solución:

El polígono $BFDG$ es un trapecio con bases $DG$ y $BF$ y altura $6$ . Además, como $G$ es el punto medio entre $A$ y $D$ , tenemos $GD= 15$ .

Vemos que $EBF \sim EAD ,$ así que $\dfrac{BF}{AD} = \dfrac{EB}{EA}$ $\dfrac{BF}{30} = \dfrac 28$ $BF = 7.5$

Esto hace que el área de $BFDG$ sea $\dfrac{6(15+7.5)}2 = \dfrac{135}2$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The polygon $BFDG$ is a trapezoid with bases $DG$ and $BF$ and height $6.$ Also, since $G$ is the midpoint between $A$ and $D,$ we have $GD= 15.$

We can see that $EBF \sim EAD ,$ so $\dfrac{BF}{AD} = \dfrac{EB}{EA}$ $\dfrac{BF}{30} = \dfrac 28$ $BF = 7.5$

This makes the area of $BFDG$ equal to $\dfrac{6(15+7.5)}2 = \dfrac{135}2.$

Thus, the correct answer is C .

2012 AMC 10B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años