Question

Supongamos que una de cada $500$ personas de cierta población tiene una enfermedad particular que no presenta síntomas. Existe un análisis de sangre para detectar esta enfermedad. Para una persona que tiene la enfermedad, el resultado siempre es positivo.

Sin embargo, para una persona que no tiene la enfermedad, hay una tasa de falsos positivos del $2\%$ . Es decir, para tales personas, el $98\%$ de las veces el resultado será negativo, pero el $2\%$ de las veces será positivo e indicará incorrectamente que la persona tiene la enfermedad.

Sea $p$ la probabilidad de que una persona elegida al azar de esta población y que obtiene un resultado positivo realmente tenga la enfermedad. ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana a $p$ ?

Suppose that one of every $500$ people in a certain population has a particular disease, which displays no symptoms. A blood test is available for screening for this disease. For a person who has this disease, the test always turns out positive.

For a person who does not have the disease, however, there is a $2\%$ false positive rate. In other words, for such people, $98\%$ of the time the test will turn out negative, but $2\%$ of the time the test will turn out positive and will incorrectly indicate that the person has the disease.

Let $p$ be the probability that a person who is chosen at random from this population and gets a positive test result actually has the disease. Which of the following is closest to $p?$

$\dfrac{1}{98}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{11}$

$\dfrac{49}{99}$

$\dfrac{98}{99}$

Solución:

Entre $500$ personas, aproximadamente $1$ tiene la enfermedad y da positivo. De las $499$ personas restantes, cerca del $2\%$ da un falso positivo, lo que equivale a unas $10$ personas.

Así, entre aproximadamente $11$ resultados positivos, solo cerca de $1$ es un verdadero positivo. La probabilidad es la más cercana a $\dfrac1{11}$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Among $500$ people, about $1$ person has the disease and tests positive. Of the remaining $499$ people, about $2\%$ test falsely positive, which is about $10$ people.

So among about $11$ positive tests, only about $1$ is a true positive. The probability is closest to $\dfrac1{11}$ .

Thus, C is the correct answer.

2012 AMC 10B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años