Question

Un dodecaedro rómbico es un sólido con $12$ caras rómbicas congruentes. En cada vértice se encuentran $3$ o $4$ aristas, según el vértice. ¿Cuántos vértices tienen exactamente $3$ aristas concurrentes?

A rhombic dodecahedron is a solid with $12$ congruent rhombus faces. At every vertex, $3$ or $4$ edges meet, depending on the vertex. How many vertices have exactly $3$ edges meeting?

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Solución:

Cada rombo tiene $4$ aristas, y cada arista es compartida por $2$ caras, así que $E = \frac{12 \cdot 4}{2} = 24.$ Con $F = 12,$ la fórmula de Euler da $V = 2 - F + E = 14.$ Supón que $x$ vértices tienen $3$ aristas y los otros $14 - x$ tienen $4.$ Los grados suman el doble del número de aristas: $3x + 4(14 - x) = 2E = 48,$ así que $x = 8.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

Each rhombus has $4$ edges, and every edge is shared by $2$ faces, so $E = \frac{12 \cdot 4}{2} = 24.$ With $F = 12,$ Euler's formula gives $V = 2 - F + E = 14.$ Suppose $x$ vertices have $3$ edges and the other $14 - x$ have $4.$ The degrees sum to twice the edge count: $3x + 4(14 - x) = 2E = 48,$ so $x = 8.$ Therefore, the answer is D.

2023 AMC 10A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años