Question

Los números hexadecimales (base 16) se escriben usando los dígitos $0$ a $9$ , así como las letras $A$ a $F$ para representar $10$ a $15.$ Entre los primeros $1000$ enteros positivos, hay $n$ cuya representación hexadecimal contiene solo dígitos numéricos. ¿Cuál es la suma de los dígitos de $n$ ?

Hexadecimal (base-16) numbers are written using numeric digits $0$ through $9$ as well as the letters $A$ through $F$ to represent $10$ through $15.$ Among the first $1000$ positive integers, there are $n$ whose hexadecimal representation contains only numeric digits. What is the sum of the digits of $n?$

$17$

$18$

$19$

$20$

$21$

Solución:

Observa que $1000$ convertido a hexadecimal es $3E8$ .

El primer dígito puede ser $0, 1, 2$ o $3$ . El segundo y el tercer dígito pueden ser cualquier número de $0 - 9$ . Esto nos da $4 \cdot 10 \cdot 10 = 400$ números. Sin embargo, esto incluye $0$ , que no es un entero positivo, así que debemos restar uno.

La suma de los dígitos de $399$ es $21$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Note that $1000$ converted to hexadecimal is $3E8.$ Now we need to count the number of numbers that have only numerical digits in their hexadecimal.

The first digit can be $0, 1, 2$ or $3.$ The second and third digits can be any number from $0 - 9.$ This gives us $4 \cdot 10 \cdot 10 = 400$ numbers. This, however, includes $0,$ which is not a positive integer so we have to subtract one.

The sum of the digits in $399$ is $21.$

Thus, E is the correct answer.

2015 AMC 10A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años