Question

El número $2013$ tiene la propiedad de que su cifra de las unidades es la suma de sus otras cifras, es decir $2+0+1=3.$ ¿Cuántos enteros menores que $2013$ pero mayores que $1000$ tienen esta propiedad?

The number $2013$ has the property that its units digit is the sum of its other digits, that is $2+0+1=3.$ How many integers less than $2013$ but greater than $1000$ have this property?

$33$

$34$

$45$

$46$

$58$

Solución:

Dadas las tres primeras cifras, si su suma es menor o igual que $9,$ se crea un número con la propiedad.

Ahora, podemos hacer casos según la $1$ ª cifra.

Si es 1, entonces la suma de la $2$ ª y la $3$ ª cifra debe ser menor o igual que $8.$ Para cada suma posible $s,$ hay $s+1$ formas de elegir las otras cifras, ya que la segunda cifra puede ir desde $0$ hasta $s.$

Así, el total es el $9^{th}$ número triangular: $\dfrac{9\cdot 10}2 =45.$

Si es 2, entonces la única forma de obtener un número que funcione menor que $2013$ es $2002,$ lo que da un total de $46$ casos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Given the first three numbers, if their sum is less than or equal to $9,$ it creates one number with the property.

Now, we can case on the $1$ st digit.

If it is 1, then the sum of the $2$ nd and $3$ rd digit must be less than or equal to $8.$ For each possible sum $s,$ there are $s+1$ ways to choose the other numbers as the 2nd number can be anywhere from $0$ to $s.$

Thus, the total is the $9^{th}$ triangular number: $\dfrac{9\cdot 10}2 =45.$

If it is 2, then the only way we can get a number that works less than $2013$ is $2002,$ making a total of $46$ cases.

Thus, the correct answer is D .

2013 AMC 10B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años