Question

En la figura de abajo, $3$ de los $6$ discos se van a pintar de azul, $2$ de rojo y $1$ de verde. Dos coloraciones que se pueden obtener una de otra mediante una rotación o una reflexión de toda la figura se consideran iguales. ¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

In the figure below, $3$ of the $6$ disks are to be painted blue, $2$ are to be painted red, and $1$ is to be painted green. Two paintings that can be obtained from one another by a rotation or a reflection of the entire figure are considered the same. How many different paintings are possible?

$6$

$8$

$9$

$12$

$15$

Solución:

Primero calcularemos el número de formas cuando el verde está en la parte superior. Esto es rotacionalmente simétrico con cualquier otra esquina, así que no tendríamos que contarlas de nuevo. Luego, podemos multiplicar nuestro conteo por $2$ , ya que el número de casos cuando el verde está en los $3$ discos interiores es el mismo que si convirtiéramos cada esquina en un borde y cada pieza del borde en una esquina.

Supongamos que el verde está en la parte superior. Entonces, hay $\binom{5}{2}=10$ lugares para colocar los dos rojos, de los cuales $2$ son simétricos. Así, el número de configuraciones no simétricas es $\frac12 \cdot (10-2)=4$ después de dividir entre $2$ para eliminar los duplicados, y $4+2=6$ al volver a incluir esos casos.

Esto hace que el total sea $6\cdot 2=12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We first will calculate the number of ways when the green is at the top. This is rotationally symmetric with every other corner, so we wouldn't have to count those again. Then, we can multiply our count by $2$ since the number of cases when the green is in the inner $3$ disks is the same as if we made each corner an edge and each edge piece a corner.

Suppose the green is on the top. Then, there are $\binom{5}{2}=10$ places to put the two reds, of which $2$ are symmetric. Thus, the number of non symmetric configurations are $\frac12 \cdot (10-2)=4$ after dividing by $2$ to remove the duplicates, and $4+2=6$ when putting those cases back.

This makes the total $6\cdot 2=12.$

Thus, the correct answer is D .

2017 AMC 10B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años