Question

Una circunferencia de radio $1$ está rodeada por $4$ circunferencias de radio $r$ como se muestra. ¿Cuánto vale $r$ ?

A circle of radius $1$ is surrounded by $4$ circles of radius $r$ as shown. What is $r?$

$\sqrt2$

$1+\sqrt2$

$\sqrt6$

$3$

$2+\sqrt2$

Solución:

Conecta los centros de las cuatro circunferencias exteriores para formar un cuadrado. Las circunferencias exteriores adyacentes son tangentes, así que cada lado tiene longitud $2r.$

La diagonal del cuadrado pasa por la circunferencia central, dando longitud $1+r+r+1=2+2r.$ Como un cuadrado de lado $2r$ tiene diagonal $2r\sqrt2,$ obtenemos $2(2r)^2=(2+2r)^2.$

Al desarrollar se obtiene $1+2r+r^2=2r^2,$ así que $r^2-2r-1=0.$ La raíz positiva es $r=1+\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Connect the centers of the four outer circles to form a square. Adjacent outer circles are tangent, so each side has length $2r.$

The diagonal of the square passes through the center circle, giving length $1+r+r+1=2+2r.$ Since a square with side $2r$ has diagonal $2r\sqrt2,$ we get $2(2r)^2=(2+2r)^2.$

Expanding gives $1+2r+r^2=2r^2,$ so $r^2-2r-1=0.$ The positive root is $r=1+\sqrt2.$

Thus, the correct answer is B.

2007 AMC 10B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años