Question

El punto $P$ está dentro del $\triangle ABC$ equilátero. Los puntos $Q, R,$ y $S$ son los pies de las perpendiculares desde $P$ a $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ y $\overline{CA},$ respectivamente. Dado que $PQ = 1,$ $PR = 2,$ y $PS = 3,$ ¿cuánto vale $AB$ ?

Point $P$ is inside equilateral $\triangle ABC.$ Points $Q, R,$ and $S$ are the feet of the perpendiculars from $P$ to $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ and $\overline{CA},$ respectively. Given that $PQ = 1,$ $PR = 2,$ and $PS = 3,$ what is $AB?$

$4$

$3\sqrt3$

$6$

$4\sqrt3$

$9$

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado. Las perpendiculares desde $P$ son las alturas de los triángulos $APB,$ $BPC,$ y $CPA,$ así que sus áreas son $\dfrac{s}{2},$ $s,$ y $\dfrac{3s}{2}.$

Su suma es igual al área de $\triangle ABC,$ que también es $\dfrac{\sqrt3}{4}s^2.$ Por lo tanto $3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2.$

La solución positiva es $s=4\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the side length be $s.$ The perpendiculars from $P$ are the heights of triangles $APB,$ $BPC,$ and $CPA,$ so their areas are $\dfrac{s}{2},$ $s,$ and $\dfrac{3s}{2}.$

Their sum equals the area of $\triangle ABC,$ which is also $\dfrac{\sqrt3}{4}s^2.$ Hence $3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2.$

The positive solution is $s=4\sqrt3.$

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 10B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años