Question

Cada escuela secundaria de la ciudad de Euclid envió un equipo de $3$ estudiantes a un concurso de matemáticas. Cada participante del concurso obtuvo una puntuación diferente. La puntuación de Andrea fue la mediana entre todos los estudiantes, y fue la más alta de su equipo. Las compañeras de Andrea, Beth y Carla, quedaron en los lugares $37^\text{th}$ y $64^\text{th},$ respectivamente. ¿Cuántas escuelas hay en la ciudad?

Every high school in the city of Euclid sent a team of $3$ students to a math contest. Each participant in the contest received a different score. Andrea's score was the median among all students, and hers was the highest score on her team. Andrea's teammates Beth and Carla placed $37^\text{th}$ and $64^\text{th},$ respectively. How many schools are in the city?

$22$

$23$

$24$

$25$

$26$

Solución:

Supongamos que hay $x$ escuelas. Entonces hay $3x$ participantes en el concurso.

Como cada persona tiene una puntuación única, también hay una mediana única. Esto significa que $x$ es impar.

Observa que hay al menos $23$ equipos, pues de lo contrario no existiría un lugar $64^\text{th}$ .

También tenemos como máximo $23$ equipos, pues de lo contrario el lugar de Andrea sería mayor que el de Beth.

Esto significa que hay $23$ equipos.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let there be $x$ schools. Then there are $3x$ participants in the contest.

Since everyone has a unique score, there is also a unique median. This means $x$ is odd.

Note there are at least $23$ teams, since otherwise a $64^\text{th}$ placed wouldn't exist.

We also have at most $23$ teams, since otherwise we have Andrea's place as being greater than Beth's.

This means that there are $23$ teams.

Thus, B is the correct answer.

2010 AMC 10B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años