Question

En la estrella de cinco puntas mostrada, las letras $A, B, C, D,$ y $E$ se reemplazan por los números $3, 5, 6, 7,$ y $9,$ aunque no necesariamente en ese orden. Las sumas de los números en los extremos de los segmentos $AB, BC, CD, DE,$ y $EA$ forman una progresión aritmética, aunque no necesariamente en ese orden. ¿Cuál es el término central de la progresión aritmética?

In the five-sided star shown, the letters $A, B, C, D,$ and $E$ are replaced by the numbers $3, 5, 6, 7,$ and $9,$ although not necessarily in this order. The sums of the numbers at the ends of the line segments $AB, BC, CD, DE,$ and $EA$ form an arithmetic sequence, although not necessarily in this order. What is the middle term of the arithmetic sequence?

$9$

$10$

$11$

$12$

$13$

Solución:

Cada número es un extremo de dos segmentos, así que las cinco sumas de los segmentos suman $2(3 + 5 + 6 + 7 + 9) = 60.$ El término central de una progresión aritmética de cinco términos es igual a su media, que es $\dfrac{60}{5} = 12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Every number is an endpoint of two segments, so the five segment sums total $2(3 + 5 + 6 + 7 + 9) = 60.$ The middle term of a five-term arithmetic sequence equals its mean, which is $\dfrac{60}{5} = 12.$

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 10A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años