Question

El rectángulo

ABCD

tiene

AB = 4

y

BC = 3.

El segmento

EF

se construye pasando por

B

de modo que

EF \perp DB,

y

A

y

C

están sobre

DE

y

DF,

respectivamente. ¿Cuánto vale

EF

?

Rectangle

ABCD

has

AB = 4

and

BC = 3.

Segment

EF

is constructed through

B

so that

EF \perp DB,

and

A

and

C

lie on

DE

and

DF,

respectively. What is

EF?

9

10

\dfrac{125}{12}

\dfrac{103}{9}

12

Respuesta: C

Conceptos:semejanza triángulo rectángulo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Primero encuentra

DB = \sqrt{4^2 + 3^2}

.

First find

DB = \sqrt{4^2 + 3^2}

Pista grande:

Los triángulos

EBA

y

BFC

son cada uno semejantes a

\triangle DBA,

así que encuentra

EB

y

BF

a partir de las razones.

Triangles

EBA

and

BFC

are each similar to

\triangle DBA,

so find

EB

and

BF

from ratios

Solución:

La diagonal es

DB = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5

.

Los triángulos rectángulos

EBA,

DBC,

y

BFC

son todos semejantes a

\triangle DBA.

A partir de

\triangle EBA,

\begin{aligned} \dfrac{EB}{AB} &= \dfrac{DB}{BC} \\ &\implies \dfrac{EB}{4} = \dfrac{5}{3} \\ &\implies EB = \dfrac{20}{3}. \end{aligned}

A partir de

\triangle BFC,

\begin{aligned} \dfrac{BF}{BC} &= \dfrac{DB}{AB} \\ &\implies \dfrac{BF}{3} = \dfrac{5}{4} \\ &\implies BF = \dfrac{15}{4}. \end{aligned}

Por lo tanto

\begin{aligned} EF &= EB + BF \\ &= \dfrac{20}{3} + \dfrac{15}{4} \\ &= \dfrac{125}{12}. \end{aligned}

Así, la respuesta correcta es C.

The diagonal is

DB = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5.

Right triangles

EBA,

DBC,

and

BFC

are all similar to

\triangle DBA.

From

\triangle EBA,

\begin{aligned} \dfrac{EB}{AB} &= \dfrac{DB}{BC} \\ &\implies \dfrac{EB}{4} = \dfrac{5}{3} \\ &\implies EB = \dfrac{20}{3}. \end{aligned}

From

\triangle BFC,

\begin{aligned} \dfrac{BF}{BC} &= \dfrac{DB}{AB} \\ &\implies \dfrac{BF}{3} = \dfrac{5}{4} \\ &\implies BF = \dfrac{15}{4}. \end{aligned}

Therefore

\begin{aligned} EF &= EB + BF \\ &= \dfrac{20}{3} + \dfrac{15}{4} \\ &= \dfrac{125}{12}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.

2009 AMC 10A Problema 17

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años