Question

En el rectángulo $PQRS,$ $PQ = 8$ y $QR = 6.$ Los puntos $A$ y $B$ están en $PQ,$ los puntos $C$ y $D$ están en $QR,$ los puntos $E$ y $F$ están en $RS,$ y los puntos $G$ y $H$ están en $SP$ de modo que $AP = BQ < 4$ y el octágono convexo $ABCDEFGH$ es equilátero. La longitud de un lado de este octágono se puede expresar en la forma $k + m\sqrt{n},$ donde $k,$ $m,$ y $n$ son enteros y $n$ no es divisible entre el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $k + m + n$ ?

In rectangle $PQRS,$ $PQ = 8$ and $QR = 6.$ Points $A$ and $B$ lie on $PQ,$ points $C$ and $D$ lie on $QR,$ points $E$ and $F$ lie on $RS,$ and points $G$ and $H$ lie on $SP$ so that $AP = BQ < 4$ and the convex octagon $ABCDEFGH$ is equilateral. The length of a side of this octagon can be expressed in the form $k + m\sqrt{n},$ where $k,$ $m,$ and $n$ are integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. What is $k + m + n?$

$1$

$7$

$21$

$92$

$106$

Solución:

Por simetría, las cuatro esquinas cortadas son triángulos rectángulos congruentes, con catetos $x$ a lo largo de los lados de longitud $8$ y $y$ a lo largo de los lados de longitud $6.$ Los lados del octágono son de tres tipos, $8 - 2x,$ $6 - 2y,$ y $\sqrt{x^2 + y^2},$ y todos son iguales. De $8 - 2x = 6 - 2y$ obtenemos $y = x - 1.$ Sustituye en $8 - 2x = \sqrt{x^2 + (x-1)^2}$ y eleva al cuadrado: $2x^2 - 30x + 63 = 0,$ así que $x = \tfrac{15 - 3\sqrt{11}}{2}$ (tomando la raíz con $x < 4$ ). La longitud del lado es $8 - 2x = -7 + 3\sqrt{11},$ de modo que $k + m + n = -7 + 3 + 11 = 7.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

By symmetry the four cut corners are congruent right triangles, with legs $x$ along the sides of length $8$ and $y$ along the sides of length $6.$ The octagon's sides come in three types, $8 - 2x,$ $6 - 2y,$ and $\sqrt{x^2 + y^2},$ and they're all equal. From $8 - 2x = 6 - 2y$ we get $y = x - 1.$ Substitute into $8 - 2x = \sqrt{x^2 + (x-1)^2}$ and square: $2x^2 - 30x + 63 = 0,$ so $x = \tfrac{15 - 3\sqrt{11}}{2}$ (taking the root with $x < 4$ ). The side length is $8 - 2x = -7 + 3\sqrt{11},$ so $k + m + n = -7 + 3 + 11 = 7.$ Thus, B is the correct answer.

2018 AMC 10B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años