Question

En el rectángulo

PQRS,

PQ = 8

y

QR = 6.

Los puntos

A

y

B

están en

PQ,

los puntos

C

y

D

están en

QR,

los puntos

E

y

F

están en

RS,

y los puntos

G

y

H

están en

SP

de modo que

AP = BQ < 4

y el octágono convexo

ABCDEFGH

es equilátero. La longitud de un lado de este octágono se puede expresar en la forma

k + m\sqrt{n},

donde

k,

m,

y

n

son enteros y

n

no es divisible entre el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale

k + m + n

?

In rectangle

PQRS,

PQ = 8

and

QR = 6.

Points

A

and

B

lie on

PQ,

points

C

and

D

lie on

QR,

points

E

and

F

lie on

RS,

and points

G

and

H

lie on

SP

so that

AP = BQ < 4

and the convex octagon

ABCDEFGH

is equilateral. The length of a side of this octagon can be expressed in the form

k + m\sqrt{n},

where

k,

m,

and

n

are integers and

n

is not divisible by the square of any prime. What is

k + m + n?

1

7

21

92

106

Respuesta: B

Conceptos:Teorema de Pitágoras cuadrática

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Las cuatro esquinas cortadas son triángulos rectángulos congruentes con catetos

x

(sobre los lados de longitud

8

) y

y

(sobre los lados de longitud

6

).

The four cut corners are congruent right triangles with legs

x

(on the sides of length

8

) and

y

(on the sides of length

6

)

Pista grande:

Los lados iguales dan

8 - 2x = 6 - 2y = \sqrt{x^2 + y^2};

la primera igualdad da

y = x - 1,

luego sustituye y eleva al cuadrado.

The equal sides give

8 - 2x = 6 - 2y = \sqrt{x^2 + y^2};

the first equality gives

y = x - 1,

then substitute and square

Solución:

Sea

s

la longitud del lado del octágono y sea

x=AP=BQ=\frac{8-s}{2}.

Los triángulos rectángulos

\triangle APH

y

\triangle BQC

tienen la misma hipotenusa

s

y un cateto de longitud

x,

así que son congruentes; escribamos

PH=QC=y.

Como

CD=HG=s

y los lados verticales del rectángulo miden

6,

se sigue que

DR=GS.

Los triángulos rectángulos en

R

y

S

son entonces congruentes, así que

RE=SF.

Como

RS=8

y

EF=s,

cada una de estas longitudes iguales es

\frac{8-s}{2}=x.

Así, las cuatro esquinas recortadas tienen catetos

x

y

y.

Los lados iguales del octágono dan

8-2x=6-2y=\sqrt{x^2+y^2}.

La primera igualdad da

y=x-1.

Al sustituir y elevar al cuadrado, obtenemos

2x^2-30x+63=0,

por lo que la raíz con

x<4

es

x=\frac{15-3\sqrt{11}}{2}.

La longitud del lado es

8-2x=-7+3\sqrt{11},

así que

k+m+n=-7+3+11=7.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let

s

be the octagon’s side length and let

x=AP=BQ=\frac{8-s}{2}.

The right triangles

\triangle APH

and

\triangle BQC

have the same hypotenuse

s

and a leg of length

x,

so they are congruent; write

PH=QC=y.

Because

CD=HG=s

and the vertical sides of the rectangle both have length

6,

it follows that

DR=GS.

The right triangles at

R

and

S

are then congruent, so

RE=SF.

Since

RS=8

and

EF=s,

each of these equal lengths is

\frac{8-s}{2}=x.

Thus all four cut corners have legs

x

and

y.

The equal octagon sides give

8-2x=6-2y=\sqrt{x^2+y^2}.

The first equality gives

y=x-1.

Substituting and squaring gives

2x^2-30x+63=0,

so the root with

x<4

is

x=\frac{15-3\sqrt{11}}{2}.

The side length is

8-2x=-7+3\sqrt{11},

so

k+m+n=-7+3+11=7.

Thus, B is the correct answer.

2018 AMC 10B Problema 17

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años