Question

Sea $a_1, a_2, \ldots, a_{2018}$ una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tal que

$a_1 + a_2 + \cdots + a_{2018} = 2018^{2018}.$

¿Cuál es el residuo cuando $a_1^3 + a_2^3 + \cdots + a_{2018}^3$ se divide entre $6$ ?

Let $a_1, a_2, \ldots, a_{2018}$ be a strictly increasing sequence of positive integers such that

$a_1 + a_2 + \cdots + a_{2018} = 2018^{2018}.$

What is the remainder when $a_1^3 + a_2^3 + \cdots + a_{2018}^3$ is divided by $6?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Solución:

Para cualquier entero $n,$ $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$ es un producto de tres enteros consecutivos, así que es divisible entre $6.$ Eso significa que $n^3 \equiv n \pmod 6.$ Sumando, $\sum a_i^3 \equiv \sum a_i$ $= 2018^{2018} \pmod 6.$ Ahora bien, $2018 \equiv 2 \pmod 6,$ y las potencias de $2$ módulo $6$ alternan $2, 4, 2, 4, \ldots.$ El exponente $2018$ es par, así que $2^{2018} \equiv 4 \pmod 6.$ El residuo es $4.$ Por lo tanto, la respuesta es E.

For any integer $n,$ $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$ is a product of three consecutive integers, so it's divisible by $6.$ That means $n^3 \equiv n \pmod 6.$ Summing, $\sum a_i^3 \equiv \sum a_i$ $= 2018^{2018} \pmod 6.$ Now $2018 \equiv 2 \pmod 6,$ and powers of $2$ mod $6$ alternate $2, 4, 2, 4, \ldots.$ The exponent $2018$ is even, so $2^{2018} \equiv 4 \pmod 6.$ The remainder is $4.$ Therefore, the answer is E.

2018 AMC 10B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años