Question

Sea

a_1,

a_2,

\ldots,

a_{2018}

una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tal que

a_1 + a_2 + \cdots + a_{2018} = 2018^{2018}.

¿Cuál es el residuo cuando

a_1^3 + a_2^3 + \cdots + a_{2018}^3

se divide entre

6

?

Let

a_1,

a_2,

\ldots,

a_{2018}

be a strictly increasing sequence of positive integers such that

a_1 + a_2 + \cdots + a_{2018} = 2018^{2018}.

What is the remainder when

a_1^3 + a_2^3 + \cdots + a_{2018}^3

is divided by

6?

0

1

2

3

4

Respuesta: E

Conceptos:aritmética modular divisibilidad

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

n^3 \equiv n \pmod 6,

porque

n^3 - n = (n-1)n(n+1)

es un producto de tres enteros consecutivos.

n^3 \equiv n \pmod 6,

because

n^3 - n = (n-1)n(n+1)

is a product of three consecutive integers

Pista grande:

Por lo tanto, la suma de cubos es congruente con

2018^{2018} \pmod 6;

reduce eso módulo

6

.

So the sum of cubes is congruent to

2018^{2018} \pmod 6;

reduce that modulo

6

Solución:

Para cualquier entero

n,

n^3 - n = (n-1)n(n+1)

es un producto de tres enteros consecutivos, así que es divisible entre

6.

Eso significa que

n^3 \equiv n \pmod 6.

Sumando,

\sum a_i^3 \equiv \sum a_i

= 2018^{2018} \pmod 6.

Ahora bien,

2018 \equiv 2 \pmod 6,

y las potencias de

2

módulo

6

alternan

2, 4, 2, 4, \ldots.

El exponente

2018

es par, así que

2^{2018} \equiv 4 \pmod 6.

El residuo es

4.

Por lo tanto, la respuesta es E.

For any integer

n,

n^3 - n = (n-1)n(n+1)

is a product of three consecutive integers, so it’s divisible by

6.

That means

n^3 \equiv n \pmod 6.

Summing,

\sum a_i^3 \equiv \sum a_i

= 2018^{2018} \pmod 6.

Now

2018 \equiv 2 \pmod 6,

and powers of

2

mod

6

alternate

2, 4, 2, 4, \ldots.

The exponent

2018

is even, so

2^{2018} \equiv 4 \pmod 6.

The remainder is

4.

Therefore, the answer is E.

2018 AMC 10B Problema 16

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años