Question

¿Para cuántos enteros

n

el número

\dfrac{n}{20 - n}

es el cuadrado de un entero?

For how many integers

n

is

\dfrac{n}{20 - n}

the square of an integer?

1

2

3

4

10

Respuesta: D

Conceptos:Ecuación diofántica divisibilidad cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Pon

\dfrac{n}{20 - n} = k^2

y despeja

n

en términos de

k

.

Set

\dfrac{n}{20 - n} = k^2

and solve for

n

in terms of

k

Pista grande:

n = \dfrac{20k^2}{k^2 + 1}

; como

k^2

y

k^2 + 1

son coprimos,

20

es divisible por

k^2 + 1

.

n = \dfrac{20k^2}{k^2 + 1}

; since

k^2

and

k^2 + 1

are coprime,

20

is divisible by

k^2 + 1

Solución:

Supongamos que

\dfrac{n}{20 - n} = k^2

para algún entero

k \ge 0.

Despejando,

n = \dfrac{20k^2}{k^2 + 1}.

Como

k^2

y

k^2 + 1

no comparten factor común,

k^2 + 1

debe dividir a

20.

Esto ocurre solo para

k = 0,

1,

2,

3,

dando

k^2 + 1 = 1,

2,

5,

10.

Los valores correspondientes

n = 0,

10,

16,

18

son todos enteros, así que hay

4

tales

n.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Suppose

\dfrac{n}{20 - n} = k^2

for some integer

k \ge 0.

Solving,

n = \dfrac{20k^2}{k^2 + 1}.

Since

k^2

and

k^2 + 1

share no common factor,

k^2 + 1

must divide

20.

This happens only for

k = 0,

1,

2,

3,

giving

k^2 + 1 = 1,

2,

5,

10.

The corresponding values

n = 0,

10,

16,

18

are all integers, so there are

4

such

n.

Thus, the correct answer is D.

2002 AMC 10B Problema 16

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años