Question

Todos los rectángulos de la figura de abajo, que está dibujada a escala, son semejantes al rectángulo que los contiene. Cada número representa el área del rectángulo. ¿Cuál es la longitud $AB$ ?

All of the rectangles in the figure below, which is drawn to scale, are similar to the enclosing rectangle. Each number represents the area of the rectangle. What is length $AB?$

$4 + 4\sqrt5$

$10\sqrt2$

$5 + 5\sqrt5$

$10\sqrt[4]{8}$

$20$

Solución:

Cada pieza es semejante al rectángulo completo, así que todas comparten una misma razón de aspecto. Las áreas $1, 2, 4, 8, 16$ (y $9, 18$ ) aparecen en pasos que multiplican por $2$ , y cortar un rectángulo de razón de aspecto $\sqrt2$ a lo largo de su lado largo da dos copias semejantes de la mitad del área. Eso fija la razón en $\sqrt2.$ El área total es $36 + 16 + 8 + 18$ $+ 1 + 9 + 4 + 2 + 32$ $+ 25 + 49 = 200.$ El rectángulo que los contiene cumple $AB \cdot \tfrac{AB}{\sqrt2} = 200,$ así que $AB^2 = 200\sqrt2$ y $AB = \sqrt{200\sqrt2} = 10\sqrt[4]{8}.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

Every piece is similar to the whole rectangle, so they all share one aspect ratio. The areas $1, 2, 4, 8, 16$ (and $9, 18$ ) come in factor-of- $2$ steps, and cutting a rectangle of aspect ratio $\sqrt2$ across its long side gives two similar copies of half the area. That pins the ratio at $\sqrt2.$ The total area is $36 + 16 + 8 + 18$ $+ 1 + 9 + 4 + 2 + 32$ $+ 25 + 49 = 200.$ The enclosing rectangle satisfies $AB \cdot \tfrac{AB}{\sqrt2} = 200,$ so $AB^2 = 200\sqrt2$ and $AB = \sqrt{200\sqrt2} = 10\sqrt[4]{8}.$ Therefore, the answer is D.

2024 AMC 10A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años