Question

Se elige un punto al azar dentro del cuadrado del plano coordenado cuyos vértices son $(0, 0),$ $(2020, 0),$ $(2020, 2020),$ y $(0, 2020).$ La probabilidad de que el punto esté a menos de $d$ unidades de un punto reticular es $\tfrac{1}{2}.$ (Un punto $(x, y)$ es un punto reticular si $x$ y $y$ son ambos enteros.) ¿Cuánto vale $d$ redondeado a la décima más cercana?

A point is chosen at random within the square in the coordinate plane whose vertices are $(0, 0),$ $(2020, 0),$ $(2020, 2020),$ and $(0, 2020).$ The probability that the point is within $d$ units of a lattice point is $\tfrac{1}{2}.$ (A point $(x, y)$ is a lattice point if $x$ and $y$ are both integers.) What is $d$ to the nearest tenth?

$0.3$

$0.4$

$0.5$

$0.6$

$0.7$

Solución en video:

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Solución escrita:

Para $d<\dfrac12$ , los puntos a menos de $d$ de los puntos reticulares ocupan, en cada cuadrado unitario, cuatro cuartos de círculo cuya área total es $\pi d^2$ . El enorme cuadrado se cubre con cuadrados unitarios, así que la probabilidad buscada es $\pi d^2$ .

Al hacer $\pi d^2=\dfrac12$ se obtiene $d=\sqrt{\dfrac{1}{2\pi}}\approx0.399$ , que se redondea a $0.4$ . Así, B es la respuesta correcta.

For $d<\dfrac12$ , the points within $d$ of lattice points occupy, in each unit square, four quarter-circles whose total area is $\pi d^2$ . The enormous square is tiled by unit squares, so the desired probability is $\pi d^2$ .

Setting $\pi d^2=\dfrac12$ gives $d=\sqrt{\dfrac{1}{2\pi}}\approx0.399$ , which rounds to $0.4$ . Thus, B is the correct answer.

2020 AMC 10A Problema 16

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 16 en otros años